5. 关于定理 2
5.1 定理的表述
Lin's Theorem 2.
There exists an
orthogonal Latin hypercube of n≥4 runs
with more than one factor if and only if n ≠ 4k +2 for any integer k.
很荣幸，笔者也有一个类似的定理，如此地相似(贺 2009)：
图 6. 贺（2009）的零相关阵列的存在性定理截图 (其中 m 为运行数)
在我与作者之间有一个量子或几个量子发生了怎样的纠缠，我不知道。我有完整的论证，欢迎质疑批评。
5.2 作者的定理是怎么来的？
Lin 等博士在描述他们的定理之前先排除 2 和 3：
Trivially, run size n cannot be two or three. So we must have n ≥ 4.
为什么？不需要说明排除的理由吗？尽管理由很简单，并非显然，为什么不加说明？
在这条定理中有一个重要参数，4k+2，当运行数 n=4k+2 时，OLHD 不存在“for any integer k”。
我们的描述丝毫不差。
这个参数涉及一个古老而著名的问题，36 军官方阵问题。
直到1779年，著名的欧拉才提出猜想：对任何非负整数 t, n=4t+2 欧拉方都不存在。伟大的欧拉不能证明这个命题。
在1920 年代，Fisher 创立正交拉丁方以后，存在一个同样的问题， n=4t+2 阶正交拉丁方是否存在。
按照欧拉猜想，应该不存在。
过了180 多年，1960 年代，人们证明了欧拉猜想是错的，除了 6 阶，欧拉方都存在。
在研究正交阵列时，我们也知道，4k+2 (k 为非负整数) 固定水平正交阵列都是存在的。
没有理由能轻松地断言 n=4k+2 时 OLHD 都不存在。 Lin 等博士如何得到了这个参数，没有透露任何玄机。
n=2,3 时 OLHD 不存在，直接验证不难。当 n=6, 如何判断此时的 OLHD 不存在？不能说很容易。
对于任何运行数 n, 两个向量不正交是个大概率事件，而正交却是个概率很小的事件。
作者如何判断此时的 OLHD 不存在，是一个不应该回避的问题。
即使证明了运行数等于 6 时 OLHD 不存在，从 6 一个点就导出了公式 4k+2 ？这个判断逻辑来自哪里？
下一个点是 n=10，作者如何证明此时 任何两个向量都不正交，OLHD 不存在？置换集比 6 大了560 倍。难度大了很多倍。
下一个点是 n=14.
2005 年，我有一台 DELL 笔记本电脑，CPU P4 2.49GHZ, 就运算速度而言，在当时不错了。
当 n=13, 不做功能计算，只是构造置换集S
13，需要将近 8 小时，当 n=14, 置换集包含 14!=87,178,291,200 个向量，
估算需要大约 110 小时，加上功能计算，需要长得多的时间。坦白说，我没有做过。
你们都做过了？如果没有做过，完全不考虑欧拉方的研究成果，凭 一个两个点就敢断言。
这样的高智慧故事不贡献出来岂不是太可惜了。
5.3 Lin 等的必要性证明过程有瑕疵
拉丁超立方有许多定义方式。McKay (1979), Ye (1998), Steinberg (2006) 等，Lin 等博士都引用过。
作为其定理 2 的证明的铺垫，特别定义：
“For odd s, the levels are taken as -(s -1)/2,..., -1,0,1,...,(s - 1)/2, and for even s, they are -(s-1)/2,...,-1/2,1/2,...,(s-1)/2.”
我不反对用这种方式做 LH 的定义，但我反对用特殊条件下的结果代替一般条件下的结果。
作者不是使用任意两列，而是
“Without loss of generality, we assume that
a=(1/2,3/2,...,(n-1)/2,-1/2,-3/2,...,-(n-1)/2)
T.
既然使用特殊构造的
a, 还何谈“Without loss of generality”？
我也不反对第一列可以采用这种标准化结构。但是，在一个向量置换集中，所有向量是否平等本身是一个问题，并非天经地义。
我有证据，一个向量的置换集不是完全对称的。理论上所有向量有同样多的正交向量，但从不同向量出发，得到的正交阵列的列数可能不同。
用反证法，假定
a,b 两列正交，推出了矛盾， 在逻辑上不代表对于任意两列也能推出同样的矛盾。
既然选择了反证法，就不能使用特殊个体作证，使用了特殊个体就必须完成回到一般的推理。
除非在之前证明了所有向量的平等性，才能“Without loss of generality”。
逻辑上，特殊不能代替一般。特殊条件下的结果不能无条件地推广到一般。
在特殊条件下证明命题之后，必须有从特殊到一般的推理过程，然后才能结束证明过程。
这一推理模式，数学教学中有大量的例子。例如每一个无穷级数的求和公式大多遵循这一证明模式。
省略了这一推理过程，证明就不充分，不严谨，等于没有完成证明。也可以说等于没有证明。
在任何置换集中，找到两个成员不正交是个大概率事件。
如果允许只用特例完成证明，那么，数学上的许多难题（包括哥德巴赫猜想）解决就会容易许多。
5.4 充分性命题不成立
关于充分性证明，作者用他们的第二堆叠法直接证明。请回见 3.1 节。
如果你们的命题只是说正交矩阵存在也许无需置疑，因为你们列出的矩阵确实是正交的。
但是，不能说，正交的矩阵就可以是 OLHD。说一个试验设计是正交的，隐含试验点分布的均衡性。
均衡性是相对的，但总不能接受完全相关和 ×或近似× 的分布。
OLHD 的存在充分性的表述是不正确的。OLHD 的存在充分性只是猜想而已。
在这一意义上，Lin 2008 的 proposition 2 及其以后的所有命题和定理都应该修正。
请博士们斟酌。
后记
笔者是化学工业过程开发实践者，热爱数学，但不是数学理论家，学识浅薄，尤其没有学过英语，
博士们的论文也许我没有读懂，或许我根本就没有资格评论。错误之处，请读者批评指正。特别请 Lin 等博士批判。
参考
- C.D.Lin, New developments in designs for computer experiments and physical experiments. Ph.D. thesis, Simon Fraser Univ. (2008).
- C.D.Lin, D.Bingham, R.R.Sitter and B.Tang, A new and flexible method for constructing designs for computer experiments, The Annals of Statistics, Vol. 38, No.3, 1460–1477, (2010).
- 田口玄一,《正交计划法》,丸善株式会社,东京, (1976).
- G.Taguchi, intdoduction to Quality Engineeering: Designing Quality into products and processes. Tokyo: Asian Productivity Organization, (1986)
- A.S.Hedayat, N.J.A.Sloane & John Stufken, Orthogonal Arrays: Theory and Applications,Springer,(1999).
- 贺深泽, 弱相关试验设计, 数学的实践与认识, 2009, 39 卷第 3 期
- 卢开澄,《组合数学》,清华大学出版社,1983
- McKay,M.D.,Beckman,R.J. & Conover,W.J. A comparison of three methods for selecting values of input variables in the
analysis of output from a computer code. Technometrics, vol. 21, 239-245, (1979).
- Ye.K.Q, On the Orthogonal column Latin hypercubes and~their application in computer experiments, J.Am.Statist.Assoc.
93,1430-1439, (1998).
- Steinberge,D.M, Lin,D.K.J, A construction method for orthogonal Latin hypercube designs. Biometrika,93, 2,279-288, (2006).
- D.Bingham, R.R.Sitter, and B. Tang, Orthogonal and nearly orthogonal designs for computer experiments. Biometrika 96 51–65, (2009)