介绍正交超立方试验设计表 / Introduction to Orthogonal Hypercube Experimental Designs

贺深泽 (Email：[email protected] )

1. 前 言

正交设计是 20 世纪应用数学的伟大创造，从此，科学实验与工业技术开发可以有计划地进行，减少了实验数目， 缩短了开发周期，降低了开发成本，提高了开发质量，大大推动了科学与技术的发展。

我们最熟悉的田口正交表具有均衡分散，齐整可比的特点。 通过均衡地安排试验点消除试验误差，不仅可以研究定量因子，也可以研究定性因子， 不仅可以估计出因子的效应，还可以估计出因子的水平的效应。

上述特点表明，这类正交表是拉丁的，即向量的水平代表的是符号。所以，这类正交表又可以称为拉丁正交表，不定义数值特征。

这种齐整正交设计也有一些弱点。最主要的弱点有三个：

• 试验数与水平数的幂成正比，随因子的水平数增加试验数迅速地增加。
• 试验点密度低。
• 大部分齐整正交表的因子的效应估计有混杂叠加现象。

在某些条件下，上述正交设计的齐整性条件过强。保持其均衡分散的特点，放弃其齐整可比的要求。 这是改进正交设计的上述弱点的主要思想。 例如，所有回归设计都不要求其实验设计是齐整的，但要求是均衡的； 梯度法的梯度向量的数值估计其设计不要求实验设计方案是齐整的，为避免数值微分，最好不包含非线性项； 当具备预报函数之后，估计最优化点，其搜索网点的分布不要求是齐整的，但要求均衡性和稠密性。

下面介绍一种解决方案。

2. 正交超立方

2.1 变量的数字特征

试验设计中，一个向量代表一个变量，向量的分量代表该变量的水平。 变量可以是定量的，它的水平是数值的。变量也可以是定性的，它的一个水平只是一个符号。 例如，原料的品种，产地，但原料的纯度是数值。 只有定量的变量才有数值特征。 所以，齐整的或拉丁的正交设计不定义数值特征（参考 Hedayat 1999）。 显然，拉丁正交表可以用于研究数值变量，那时便有数值特征。

一个向量 x=(x₁,...,x_n)^T, 如果是数量的，即，x_i是数值， 那么，该变量有数值特征，多少，大小等等。下面这些数值特征在实验分析过程中是非常重要的统计量：

均值 x^-=(x₁+...+x_n)/n, ------ (1) (注：习惯上，均值由变量上方加“-”来表示，但某些语言不支持这一符号，故把 “_" 移至右上角，下同。)

内积 x_i^Tx_j=x_1ix_1j+...+x_nix_nj------ (2)

差乘和 spd_ij=(x_1i-x^-_i)(x_1j-x^-_j)+...+ (x_ni-x^-_i)(x_nj-x^-_j)=x_i^Tx_j- nx^-_ix^-_j ------ (3)

方差估计 σ²_i=[(x_1i-x^-)²+...+(x_ni-x^-_i)²]/(n-1) =[x_i^Tx_i-nx^-_i² ]/(n-1)=spd_ii/(n-1) ------ (4)

协方差估计 cov(x_i,x_j)=[(x_1i-x^-_i)(x_1j-x^-_j) +...+(x_ni-x^-_i)(x_nj-x^-_j)]/(n-1) =spd_ij/(n-1)------ (5)

相关系数 corr(x_i,x_j)= r_ij =cov(x_i,x_j)/(σ_iσ_j) (i,j=1,2,…,m; i≠j) =spd_ij/√(spd_iispd_jj)------ (6)

设一个向量为 x=(x₁,...,x_n )^T， 则任何一个n×m 矩阵 X=(x₁,x₂,...,x_m) 是实欧氏空间 IR_n 中的超立方体。 以这样的矩阵作 m 个输出变量的采样方案，它就是超立方设计。 如果每个 x 的取值范围被随机地划分，该设计是随机设计。 如果每个 x 的取值空间被等距离地划分，它是一种边际分布均匀的特定的划分， 我们以后都默认超立方设计是边际分布均匀的。

2.2 正交超立方及正交性表征

我们现在给这种分划一个严谨的描述。

设每个向量 x_i (i=1,2,...,m) 的变化区间的水平等距离分划为 L_i=(l_1i,...,l_ni)^T， 其中 l_ki,(k=1,2,...,n) 都是实数, 且 l_ki<l_(k+1)i,k=1,2,...,n-1，相邻两水平之间的间距为 Δ= l_(k+1)i-l_ki 是一个常数，则称L_i 为因子x_i 的水平设计， 它的全体置换的集合记作S_i, 有时也称 L_i 为S_i 的母向量。 若 X 的向量 x_i=(x_1i,…,x_ni)^T 是L_i 的一个置换， 则称 X 是一个超立方设计 记作 HC。 如果 l_1i=1, Δ=1, 则称 X 为标准超立方。

如果 X 的所有向量满足条件 r_ij=0 或 cov(x_i,x_ij)=0, 或 spd_ij=0 ------(7) 则称 X 为零相关超立方设计，简称为零相关设计，

欧氏空间中的任何矩阵都对应一个相关矩阵 R=(r_ij) ，它 是一个对称矩阵，其对角线元素 为 1. 在对角线之外的元素的绝对值必有一个最大的相关系数，记作mcc mcc=max{|r_ij| , i≠j； i,j=1,2,…,m}

如果所有向量x_i 满足条件 x_i^Tx_j=0, (i≠j; i,j=1,2,...,m) ------(7) 则称 X 为正交超立方设计，记作 OHC。正交超立方设计的 mcc=0.

零相关的不一定是正交的。如果所有向量的均值为 0，则正交的超立方设计一定是零相关的。 零相关设计由下列变换令 a=x^- 正交化， x=x-a 再用下列变换令 b=1/Δ 可以使 X 标准化。 x=bx

如果 X 的 mcc 非常小，则该设计的相关性非常弱。此时，可以认为 X 是弱相关的。 一个设计的相关性的强与弱是相对的，单用相关系数的大小不能作出判别。同一个小的相关系数值， 例如 mcc=0.1 在小的运行数可能相关性足够弱，在更大的运行数则可能不够弱。 这与自由度有关。相关性是否足够弱，依赖于相关系数临界值，它是置信水平 α 与 自由度 (n-1) 的函数。相关系数临界值随自由度的变大而变小。 如果 mcc 大于相关系数临界值r _α(n-2)，则该设计至少有两个列向量相关性的置信水平小于 α， 即，该两个变量的相关性的置信概率大于 p=1- α， 此时称该设计的相关性置信水平小于 α 或相关性置信概率大于 p=1- α。 置信水平 α 与置信概率 p=1- α 是两个标准的统计判别量，应该作为设计的相关性的控制量，或判别准则。 这个值 α 取多大？依赖于具体工程的要求。

置信水平 α 与 相关系数负相关，而 P 值与相关系数正相关。所以一般使用 P 值作判别量，比较方便，更符合习惯。

按代数学观点，在欧氏空间中，给定第一个向量 X₁是任何实向量, 可以依次计算出 X₂，X₃,..., 构成一个正交矩阵。但是，当若要求 X 的各列的水平满足水平等距离分划的条件，正交阵列不一定能够被构造出来。

正交超立方存在的条件是：

定理：零相关矩阵存在的必要条件是 n 为大于 3 的奇数或 4 的倍数。当 n=4k+2（k为正整数）时不存在零相关矩阵。

一个正交超立方如果存在，是多解的。

2.3 正交拉丁超立方

McKay, Beckman, 和~Conover (1979) 将每个变量 x_k 的范围按概率均匀地划分为 n 层， 每层采样一次，并称之为拉丁超立方采样(LHS)。

Ye(1998)，Steinberg 和 Lin(2006) 让 LH 的每个x_k 包含 n 个等间距的水平。 在采样空间引入距离属性，事实上给向量赋予了数值特征。 这是对随机设计的改进。使随机设计的边际分布均匀化。这就在事实上在形式上赋予了 LHS 设计数值特征， 因而与欧氏空间的超立方无异。 这样，在形式上，正交超立方与正交拉丁超立方在欧氏空间中得到统一。

超立方设计当然可以应用于定性因子，只需把代表水平的数值换成相应的符号即可。 由于点分布均衡分散，通过直接比较，可以实现因子优选。 如何处理 数据得到预报方程？ 期待应用结果。

2.4 正交超立方与齐整正交设计的差异

超立方的边际分布是均匀的，即每个变量的水平设计都是均匀的， 但其联合分布不一定是均匀的，甚至可能是非常不均匀的。 正交超立方设计可以是不齐整不规则的但必须是充分分散的。 满足正交的条件的阵列试验点分布可以是非常不均匀的，试验点甚至可能分布在一两条直线上， 这样的非常不均匀的正交阵列不应该列入正交设计的集合之中。 当使用随机构造方法构造正交超立方设计，由于随机性，点分布十分不均匀的概率很小。 9运行正交超立方w9h5o 的全部二维点阵图表明了这种情况。 如果对点分布均衡性要求很高，需要逐一检查点的分布状况。单从相关矩阵难以作出判断。 如果采用合成构造法，例如张量积，产生极端不均匀分布的概率非常高。 对这类问题，我们另文专门讨论。

以田口正交表为例，当把这些正交表中代表拉丁符号的数字就当作是数字，用于定量变量的实验设计， 其相关矩阵是单位矩阵。这就意味着，它们是零相关的。在 Hedayat (1999）书中提到的正交阵列，OA(N,k,s,t), 除了OA_I 和 OA_II 两种类型外，也都是零相关的，因而中心化后是正交的。 不过，都不属于超立方类型， Hedayat 称之为固定水平或混合水平类型。

2.3 正交超立方例

笔者已经在笔记本电脑上用直接法构造出运行数范围在 4 至 37 之间的超立方阵列。凡是(运行数) n≠4k+2 的阵列都包含零相关正交子阵。 n > 21 的阵列是目前文献上不能找到的。我的命名方法参考：

命名约定

三个正交超立方例(点击可浏览)：

w19h7o

w21h7o

w28h7o

参考

1. 田口玄一,《正交计划法》,丸善株式会社,东京, (1976).
2. G.Taguchi, intdoduction to Quality Engineeering: Designing Quality into products and processes. Tokyo: Asian Productivity Organization, (1986)
3. A.S.Hedayat, N.J.A.Sloane & John Stufken, Orthogonal Arrays: Theory and Applications,Springer,(1999).
4. 贺深泽, 弱相关试验设计, 数学的实践与认识, 2009, 39 卷第 3 期
5. McKay,M.D.,Beckman,R.J. & Conover,W.J. A comparison of three methods for selecting values of input variables in the analysis of output from a computer code. Technometrics, vol. 21, 239-245, (1979).
6. Ye.K.Q, On the Orthogonal column Latin hypercubes and~their application in computer experiments, J.Am.Statist.Assoc. 93,1430-1439, (1998).
7. Steinberge,D.M, Lin,D.K.J, A construction method for orthogonal Latin hypercube designs. Biometrika,93, 2,279-288, (2006).