Paradojas del infinito - Un juego infinito

Continuando con mi serie de publicaciones relacionadas con el concepto del infinito, y como este acarrea paradojas que van en contra de nuestro sentido común.

En mi post anterior escribí sobre el hotel de infinitas habitaciones, paradoja que originalmente fue planteada por el matemático alemán David Hilbert (1862-1943) en 1924.

Hoy voy a escribir sobre una paradoja que involucra un juego con infinitas piezas o fichas. Leí o escuché una versión de esta paradoja, de manera informal, hace muchos años, y hoy presento mi interpretación de ella.

Fuente de la imagen: Pixabay

A lo largo de este post, el término “infinito”, se refiere a Infinito numerable, es decir el infinito que corresponde a los números naturales: 1,2,3,….

La descripción del juego es la siguiente.
Se tiene una cantidad infinita de fichas, etiquetadas con los números: 1,2,3,…., en un bote o recipiente.
Hay dos jugadores: A y B. En el primer turno el jugador A toma dos fichas del bote y luego el jugador B toma una de las fichas que seleccionó el jugador A.
En el segundo turno el jugador A toma denuevo dos fichas del bote y el jugador B toma una de las fichas que tiene el jugador A. Este proceso se repite un número infinitos de turnos.

Gana el jugador que tiene más fichas, luego de finalizado todo este proceso.

¿Quién gana, A o B?

Antes de continuar leyendo. Piense un momento sobre quién gana el juego.

La respuesta es el jugador B gana, si usa una estrategia correcta.

De hecho, dependiendo de la estrategia utilizada por B, el jugador A, puede terminar sin fichas, con cualquier número finito de fichas o infinitas fichas. ¿Cómo? Veamos las estrategias.

• A termina sin fichas:
  Supongamos que A comienza el primer turno tomando las fichas: 1 y 2 del bote. Si toma otras fichas el argumento se adapta fácilmente. pero por simplicidad vamos a suponer que A toma las fichas del bote de manera consecutiva. Entonces B agarra la ficha 1 de A.
  En el segundo turno A selecciona 3 y 4 del bote. B toma la número 2 de A.
  Fíjese que el turno n-esimo: A tiene las fichas desde n+1 hasta 2n y B desde 1 hasta n. Luego de un número infinito de pasos (tomando el límite, cuando n tiende a infinito) B tiene todos los números naturales: 1, 2, 3, …. y A no tiene ninguna. Al final el vencedor es el jugador B.

• A termina con sólo una ficha:
  Si A comienza tomando las fichas 1 y 2 del bote. B juega tomando la número 2 de A. En el segundo turno A selecciona 3 y 4, B juega agarrando la número 3 de A. Y así sigue. Al final A tiene sólo la ficha 1 y B tiene las otras fichas: 2, 3, 4,…
  Esta estrategia se puede modificar de manera obvia, para que A le quede cualquier cantidad finita de fichas. Aquí claramente el jugador B gana.

• A termina con una cantidad infinita de fichas:
  Si A selecciona las fichas 1 y 2, B responde tomando 1 de A. En la segunda ronda A selecciona 3 y 4, a lo que responde B agarrando 3. De esa manera sigue B siempre seleccionando los números impares. Al final A se queda con los pares y B con los impares. Los dos jugadores tienen la misma cantidad de fichas, por lo que hay un empate.

Espero que este post haya sido de su agrado y me gustaría leer sus comentarios.