Cómo la matemática concluye que hay distintos tipos de infinitos

En este post, veremos algunas pequeñas reflexiones sobre como la matemática concluye que hay distintos grados de infinitos y otros delirios. Trataré de ser lo más didáctico posible para que cualquiera pueda comprender que hay conjuntos con infinitos "elementos" que son "más grandes" que otros conjuntos que también tienen infinitos elementos.

Conjuntos con finitos elementos

Para empezar a entender lo que queremos probar, tenemos que primero comprender como determinamos la cantidad de elementos que tienen los conjuntos finitos.

Para ello, supongamos que tenemos un conjunto con finitos elementos. Entonces de forma natural cuando queremos determinar la cantidad de elementos que hay en dicho conjunto, los contamos.
Por ejemplo, supongamos que tenemos el siguiente conjunto:
A = {♣,♥,♦,♠},
este conjunto claramente tiene 4 elementos. Aunque nunca lo veríamos así, pero para decidir que tiene 4 elementos inconscientemente definimos un biyección entre el conjunto B = {1, 2, 3, 4} y nuestro conjunto A. Con biyección queremos decir que a cada elemento del conjunto A le corresponde 1 y sólo 1 elemento del conjunto B. Por ejemplo podemos decir que:
1→♣
2→♥
3→♦
4 → ♠.
Y con eso nos convencemos de que hay 4 elementos en nuestro conjunto A. Claramente puede venir alguien y crear la siguiente biyección
4 → ♣,
3 → ♥,
2 → ♦,
1 → ♠.
Pero eso no modifica que a cada número del 1 al 4 le corresponde sólo un elemento de A y que el conjunto A tiene 4 elementos.

Qué se entiende por cardinal de un conjunto

Cuando encontramos un biyección entre un conjunto y otro, como en este caso la encontramos entre los conjuntos A y B, decimos que los conjuntos son coordinables entre sí, y que tienen el mismo cardinal. En este caso A y B son coordinables y ambos tiene cardinal 4.
Para conjuntos finitos el cardinal claramente coincide con el número de elementos del conjunto. Y se puede demostrar que si un conjunto finito tiene cardinal distinto a otro conjunto, es por que tienen distinta cantidad de elementos (es bastante obvia la afirmación, pero la demostración matemática de ese hecho no es tan trivial).

El primer conjunto con infinitos elementos

La pregunta que surge a continuación es qué pasa con los conjuntos que poseen infinitos elementos.
Por ejemplo el conjunto de todos los números naturales:
N = {1, 2, 3, ....}, es decir el conjunto que usamos para contar.
El conjunto N es claramente infinito entonces ¿qué cardinal tiene?
Para convencerse de que N es infinito pensemos en un número natural n, y ahora sumémosle 1, obviamente n + 1 sigue siendo un número natural, (por ejemplo n=25, n+1=26), y ese proceso lo podemos hacer las veces que queramos.
Por ende el conjunto N es infinito. Dicho de otra manera no vamos a poder encontrar un conjunto como nuestro conjunto B que era finito, que sea coordinable con N porque si lo encontrásemos entonces N sería finito contradiciendo nuestro argumento de que no lo es.

De esta manera se define que el cardinal de los números naturales N es א (aleph cero). Con esta definición todos los conjuntos coordinables con N tendrán cardinal א.

Otros conjuntos coordinables con los números naturales

El primer conjunto que se nos viene a la mente y que intuimos que sería "más grande" que N sería el conjunto de los números enteros Z. Donde
Z = {0, +1, −1, +2, −2, ...},
es el conjunto que tiene los números enteros positivos, negativos y el 0.

¿Será posible encontrar una biyección entre Z y N? La respuesta es si.

Pensemos en la siguiente función f : N → Z, definida de la siguiente manera:
1→0
2 → −1
3 → +1
4 → −2
5 → +2,
y así siguiendo con todos los demás números.

Como se ve a cada número entero le corresponde sólo un número natural. Por lo tanto usando nuestra
definición, el cardinal de Z es א.

Aquí se produce la primera "anomalía" para nuestra intuición, porque vemos como un conjunto que creemos que
tiene más elementos que otro, en realidad tiene el mismo cardinal.
La misma idea se puede usar (aunque un poco más difícil) para demostrar que Q el conjunto de todas las fracciones (o números racionales) es coordinable con N. Pensemos que en el conjunto Q, no sólo tenemos todos los números enteros positivos, negativos y el 0, sino que también todas las fracciones como por ejemplo 1/2,−1/3, etc, sin embargo también su cardinal es א.

De la misma manera encontramos que Q tiene la misma cantidad de "elementos" que N, aunque a priori parecía un conjunto mucho más grande. Las comillas en la palabra elementos de debe a que cuando tenemos un conjunto infinito no se puede asociar el cardinal de dicho conjunto a la cantidad de elementos que tiene, pero es una idea intuitiva que sirve para entender como funciona el concepto de cardinalidad.

Otros infinitos: La potencia del continuo.

Ahora preguntémonos lo siguiente: ¿habrá conjuntos con cardinal mayor a א? La respuesta es si.

Por ejemplo: tomemos el conjunto de los números reales del 0 al 1. Es decir la recta real que empieza en 0 y termina en 1, en este caso tenemos todos los números del 0 al 1, no sólo los racionales (es decir las fracciones del 0 al 1) sino también los números irracionales (aquellos que no se pueden escribir como fracción, como por ejemplo 1/√2 ó 1/π ) vamos a demostrar, que este conjunto (por más inocente que parezca), tiene mayor cantidad de "elementos" que el conjunto de los números naturales.

Para probar esto supongamos que efectivamente pudiéramos poner los números reales del 0 al 1 en biyección con N y vamos a llegar a un absurdo. Vamos a usar el llamado "argumento diagonal" de Cantor, para llegar a ese absurdo.

Imaginemos que podemos crear una función biyectiva entre N y el intervalo [0,1] (así notamos el subconjunto de los reales que está entre el 0 y el 1).
Los números que están entre [0,1] se pueden escribir como desarrollos decimales infinitos, por ejemplo el número 0,12999328... está en ese conjunto o por ejemplo el número 0,239998928... , también está, etc. Lo mismo ocurre con el número 0,x_11 x_21 x_31 x_41 x_51... Donde los números x_11, x_21, x_31, ... son dígitos del 0 al 9, etc.

Entonces pensemos en la siguiente función g : N → [0, 1] definida como sigue:
1 → 0,x_11 x_21 x_31 x_41 x_51...
2 → 0,x_12 x_22 x_32 x_42 x_52...
3 → 0,x_13 x_23 x_33 x_43 x_53...
4 → 0,x_14 x_24 x_34 x_44 x_54...,
y así siguiendo, entonces nos preguntamos que número natural se corresponde con el número 0,c1c2c3c4c5...
donde c1 ≠ x_11, c2 ≠ x_22, c3 ≠ x_33, c4 ≠ x_44, etc. Este número está claramente en el conjunto [0,1], pero es distinto a todos los números de la lista que creamos, es distinto por construcción, fijarse que el número 0,c1c2c3c4c5... está construido con los dígitos que no están en la diagonal de nuestra lista .

Efectivamente encontramos un número que no se puede listar con los números naturales, por lo tanto el conjunto [0, 1] no es coordinable con N (al menos el número 0,c1c2c3c4c5... no tiene un número natural asociado) . Su cardinal es mayor. Un argumento similar se puede usar para decir que todos los números reales no son coordinables con N.

Al cardinal del conjunto de los números reales R que coincide con el cardinal del conjunto [0, 1] (porque fácilmente se puede hallar una biyección entre ambos conjuntos, pensar por ejemplo en la función tangente), se lo llama c (por "continuo") y es estrictamente mayor que א.

Encontramos un conjunto infinito que tiene evidentemente "más elementos" que N. Por lo cual llegamos a la conclusión de que hay distintos grados de infinitos.

Otras Preguntas y delirios

A partir de esto surgen muchas preguntas, por ejemplo ¿habrá conjuntos con cardinales entre c y א? La respuesta es sí y no. Se puede demostrar que sí existe y se puede demostrar que no existe, de todas maneras la existencia o no de ese conjunto no altera en nada la teoría que vimos arriba. La respuesta a esta pregunta dependerá del axioma de selección.

La otra pregunta que nos podríamos hacer es ¿hay conjuntos con cardinales mayores que c? La respuesta es un rotundo sí. Hay conjuntos con grados de infinito aún mayores que la recta real, pero eso lo dejamos para otro post.

Para concluir: pensemos en el siguiente delirio.
Es relativamente fácil encontrar una biyección entre lo que se llama R2 (el espacio bidimensional) y el conjunto
[0, 1], por lo tanto ambos conjuntos tienen cardinal c, también es fácil probar que el espacio tridimensional en el que vivimos que se nota R3, es coordinable con el conjunto [0, 1]. Esto nos estaría diciendo que la cantidad de puntos que hay en un recta de supongamos 1 cm, es la misma que la cantidad de puntos que hay en el universo en el que vivimos.

Y si tenemos ganas de seguir delirándola, y pensar que vivimos en un universo de 4 dimensiones (las 3 dimensiones espaciales y el tiempo), y dado que es simple también encontrar un biyección entre R4 y el conjunto [0,1], entonces estaríamos diciendo que la cantidad de puntos que hay en una recta de supongamos 1 cm es la misma cantidad de puntos que hay en el universo desde que se creó hasta el día de hoy.
Habría que pensar en que contexto este argumento es realmente verdadero y que suposiciones hay que hacer.

Cuando se trabaja con cardinalidad surgen estos dilemas que mejor no contestarse para no estallar en el intento :)