Fuente

Para desarrollar el determinante |A| de una A matriz de orden 3, .
Usamos la fórmula:

Busquemos el algoritmo que nos permita calcular el de terminante de una matriz de orden 3 de manera más directa:

Las lineas en diagonal indican la sumatoria de los productos de los tres elementos que conforman la diagonal, de lo cual sale dos resultados:

El primero de ellos resulta de las diagonales que van de arriba hacia abajo.

Esto es:

El segundo resulta de las diagonales que van de abajo hacia arriba.

Esto es:

Para obtener el determinante de la matriz A (|A|) se toman estos dos resultados y se restan usando como minuendo la sumatoria de los productos obtenidos a través de la diagonal que va de arriba hacia abajo y como sustraendo lo que de manera análoga se obtuvo por vía de las diagonales que van de abajo hacia arriba.

Esto es:

|A|= - ()

Ejemplo: Calcule el determinante de

Aplicando el algoritmo que se acaba de explicar anteriormente, se amplía la matriz agregando a su derecha las dos primeras columnas y se desarrollan los productos en diagonal efectuando luego la diferencia entre los resultados de acuerdo al orden explicado anteriormente.
Esto es:


De esta manera se concluye que el determinante de la matriz A es -10

Una de las aplicaciones más importantes de los determinantes es la solución de Sistemas de Ecuaciones Lineales (SEL) con tres incógnitas.

Regla de Cramer:

Considérese el siguiente SEL:

El cual se desea resolver para x , y y para z; para ello se construye la matriz de coeficientes del sistema, el cual es:


Y cuyo determinante es denotado por
Sean , y ; cada uno de los determinantes obtenidos al sustituir la columna correspondiente a cada variable por los valores del vector columna cuyas entradas corresponden a cada valor de k.

La Regla de Cramer nos asegura que el valor de las variables x, y y z se obtienen a través del siguiente algoritmo:
, y

Si y entonces el sistema tiene un número infinito de soluciones. Si y o o entonces el sistema no tiene ninguna solución.
Ejemplo:
Dado el siguiente SEL:

El determinante de la matriz asociada a este sistema ya fue calculado al inicio de este post:

Siguiendo el mismo procedimiento calculemos

, y
De donde:
, y

Referencia:
Frank Ayres, JR.(1978). Matrices.McGraw-Hill
Jagdish C. Arya/Robin W. Lardner(1989). Prentice Hall Hispanoamericana S.A. México.
La matrices y los determinantes fueron creadas con la ayuda del Editor en línea de ecuaciones LateX.