SLC S23 Semana 2 // Geometría con GeoGebra: El triángulo y sus elementos

Tarea Nº 1

Construya un triángulo con tres altitudes. Al construir las tres altitudes, debe mostrarse siempre el punto de intersección de las altitudes, como en la tarea nº 5 (de la lección anterior), donde deben mostrarse las prolongaciones de las altitudes hasta su intersección

♦ Creamos un triángulo ABC uniendo 3 segmentos de rectas como se muestra en el vídeo.

♦ Haciendo uso de la función “perpendicular”, trazamos una línea por el vértice A perpendicular al lado opuesto CB. A continuación repetimos los mismo pasos a partir de los vértices B y C, respectivamente.

♦ Marcamos los puntos de intersección de las líneas con cada base del triángulo, identificados por defecto como D, E y F. Así mismo marcamos el punto de intersección entre las líneas denotado como G.

♦ Ocultamos las líneas perpendiculares con la función “mostrar/ocultar” y trazamos un segmento de recta desde cada vértice hasta el punto de intersección correspondiente previamente determinados. Cada segmento constituye la altitud del triángulo ABC según su vértice.

♦ Cambiamos el nombre de las etiquetas D, E y F a H₁, H₂ y H₃ como se muestra, a fin de identificar el punto base de cada altura del triángulo ABC.

♦ Seleccionamos las líneas de altitud y le asignamos el color verde en el menú de propiedades para diferenciarla visualmente dentro del conjunto. Igualmente le permitimos la visualización de las intersecciones fuera del segmento haciendo uso de la opción “permitir intersecciones en prolongaciones”, que necesitaremos más adelante.

♦ Marcamos los ángulos entre la altitud y la base para demostrar la perpendicularidad entre estos segmentos, haciendo uso de la función de medición de ángulos. Como se puede ver son 90º por el lado interno. Así mismo le asignamos el color verde que asociamos a la altitud.

♦ Seleccionamos los segmentos del triángulo ABC, le asignamos el color negro y el grosor 8 para resaltarlo. Así mismo le permitimos la visualización de las intersecciones en las prolongaciones.

♦ Al mover el vértice A hacia el interior del triángulo, el punto G se desplaza en la prolongación de la base de cada altitud. Para hacer visible estas prolongaciones, trazamos un segmento de recta entre el punto G y el extremo visible de cada base, como se muestra en el vídeo. Se asigna una línea discontinua y color verde a estas prolongaciones.

Las tres altitudes resultantes de denotan respectivamente como (H₁, A), (H₂, C) y (H₃, B).

Tarea Nº 2

Construya un triángulo. A partir del vértice A, construir (mostrar) la altitud, la bisectriz del ángulo y la mediana.

Construcción de la altitud a partir del vértice A

♦ Se construye un triángulo ABC utilizando tres segmentos de recta como se muestra en el vídeo.

♦ Se construye la altitud a partir del vértice A, trazando una línea perpendicular a la base opuesta CB y se marca el punto de intersección en la base H₁.

♦ Se oculta la línea perpendicular y se traza un segmento entre el vértice A y el punto de la base H₁ definiendo la construcción de la altitud (H₁, A).

♦ Se seleccionan los segmentos del triángulo ABC y la altitud (H₁, A) para permitirles la intersección en las prolongaciones.

♦ Para hacer visible la intersección en la prolongación de la base se le asigna una línea discontinua color rojo de grosor 2 hasta el punto H₁. Igualmente se asigna el color rojo a la altitud y un rótulo para su identificación visual.<br

♦ Se marca el ángulo recto interno (90º) entre la altitud (H₁, A) y la base CB, que demuestra la perpendicular entre estos segmentos de recta.

Construcción de la bisectriz a partir del vértice A

♦ Haciendo uso de la función “bisectriz”, se marca una línea que pasa por el vértice A y su lado opuesto BC, de tal manera que divide en dos partes el ángulo interno de dicho vértice.

♦ Se marca el punto de intersección de dicha línea con el lado BC inicialmente denominado D.

♦ Ocultar la línea trazada y construir la bisectriz con un segmento de recta entre el vértica A y el punto D.

♦ Cambiar la etiqueta del punto D por B₁ para indicar el punto de intersección de la bisectriz.

♦ Marcamos los ángulos de la bisectriz (A, B₁) con los lados del triángulo AB y AC para demostrar que son iguales.

♦ Le asignamos a la bisectriz un color verde, un rótulo y adecuamos el tamaño y el color de los ángulos de la bisectriz para una mejor identificación en el conjunto.

Construcción de la mediatriz a partir del vértice A

♦ Se hace click en la función mediatriz y se escogen dos puntos del lado opuesto al vértice A. En este caso, el lado CB. Enseguida se genera una línea perpendicular que pasa por el punto medio de este lado.

♦ Marca el punto de intersección D o punto medio de la mediatriz y oculta la línea perpendicular trazada.

♦ Cambia la etiqueta inicial del punto D por M₁ para asociarla a la mediatriz a construir.

♦ Construye la mediatriz uniendo el vértice A con el punto M₁ con un segmento de recta.

♦ Asigna un rótulo de identificación a la mediatriz así como el color azul que también incluirá la etiqueta del punto M₁ a fin de que puedan ser identificados en el conjunto.

♦ Para demostrar que la mediatriz pasa por el punto medio del lado CB, utilizamos la función para medir la distancia entre M₁B y M₁C. Estas medidas efectivamente con iguales lo que demuestra que la mediatriz determinada pasa por el punto medio del lado CB.

Se puede observar la perpendicularidad (90º) entre la altitud y la base CB del triángulo ABC. En la bisectriz se puede observar que el ángulo interno del vértice A de triángulo, se divide en dos partes iguales de 43,4º cada uno. Análogamente se puede verificar que la mediatriz divide en dos partes iguales la base del triángulo cada una con una distancia de 113,40 desde el punto M₁ hasta el extremo C o B de la base.

Tarea Nº 3

Las bases de las medianas. Construye el triángulo ABC. Luego, utilizando las medianas como vértices del nuevo triángulo, construye un nuevo triángulo.

♦ Se construye un triángulo con vértices A, B y C

♦ Con la herramienta “mediatriz” se trazan las líneas por cada lado del triángulo ABC.

♦ Marca los puntos de intersección de cada una de estas líneas con los lados del triángulo e identifica estos puntos con la etiqueta M₁, M₂ y M₃ respectivamente

♦ Ocultar las líneas trazadas de intersección que pasan por M en cada lado del triángulo.

♦ Unir son segmentos de recta los puntos M₁, M₂ y M₃, formando un triángulo con las mediatrices obtenidas como vértices.

♦ Para demostrar que la mediatriz pasa por el punto medio M de cada lado del triángulo, se tomaron las distancias entre el punto M y el vértice extremo de cada lado de éste, como se puede observar en el vídeo.

♦ Ocultar el triángulo ABC, pulsando la herramienta “mostrar/ocultar objeto” y a continuación seleccionamos los tres lados de dicho triángulo.

♦ Finalmente añadimos un triángulo de color azul para identificar al nuevo triángulo que tiene como vértices las mediatrices del triángulo ABC.

¿Qué propiedades tiene este triángulo?

Una de las propiedades de este triángulo de Ceva o de medianas es que cada lado encuentra un paralelo en el triángulo original ABC. Por ejemplo, segmento M₂M₃ tiene como paralelo el segmento AB del triángulo ABC que contiene la mediatriz M₁.

Así mismo, el segmento M₃ M₁ es paralelo al segmento CB que contiene la mediatriz M₂ y M₁ M₂ es paralelo al segmento AC que contiene la mediatriz M₃.

Por otra parte, existe un teorema elemental de la geometría denominado teorema de Ceva que establece que dado un triángulo ABC y los puntos E, D y F que se encuentran en sus lados, las tres rectas que pasan por los vértices son concurrentes si y solo si:

_F
(AF/FB)*(CD/DB)*(CE/EA) = 1

En nuestro caso, para el triángulo ABC verificamos que:

(AM₁/ M₁B)*(C M₂/ M₂B)*(C M₃/ M₁A) = 1

(4.9/4.9)*(5.1/5.1)*(4.3/4.3) = 1
(1)*(1)*(1) = 1
1 = 1 ¡Cumple ok..!

Por tanto, los segmentos de recta que pasan por los vértices del triángulo ABC y sus mediatrices correspondientes son concurrentes.

Como consecuencia del paralelismo entre el triángulo ABC y el nuevo triángulo circunscrito en él, se puede decir que éste también es concurrente.

Tarea Nº 4

Las bases de las altitudes. Construye el triángulo ABC y luego, utilizando las bases de las altitudes como vértices, construye otro triángulo.

♦ Se construye el triángulo ABC

♦ Se trazan las líneas perpendiculares a cada lado del triángulo ABC que pasan por cada vértice.

♦ Se marcan los puntos de intersección en cada base y se identifican como H₁, H₂ y H₃

♦ Ocultar las líneas perpendiculares y construir las altitudes con segmentos de recta que unen cada vértice el punto H en la base correspondiente.

♦ Marcar el punto de concurrencia de las altitudes etiquetado D.

♦ Seleccionamos todos los segmentos de recta y permitamos la intersección en sus prolongaciones.

♦ Así mismo le asignamos un color a los lados del triángulo y a las altitudes.

♦ Unir con segmentos de recta rojo y línea discontinua las prolongaciones de las bases del triángulo.

♦ Marcar los ángulos rectos entre las bases y las altitudes correspondientes.

♦ Unir con un polígono los puntos H₁, H₂ y H₃, formando un triángulo de color que permite su identificación visual.

Tarea Nº 5

Las bases de los ángulos bisectores. Construye el triángulo ABC y, a continuación, utilizando las bases de los ángulos bisectores como vértices, construye otro triángulo.

♦ Construimos un triángulo de vértices A, B, C

♦ Trazamos las bisectrices correspondientes por cada vértice del triángulo.

♦ Marcamos los puntos de intersección con cada lado del triángulo así como la intersección entre las líneas congruentes.

♦ Seguidamente trazamos los segmentos de recta desde los vértices hasta los punto de intersección correspondiente al lado opuesto.

♦ Seleccionamos las líneas bisectrices, les asignamos el color rojo y una línea discontinua.

♦ Asignamos las etiquetas a los puntos de intersección de la bisectriz denominados B₁, B₂ y B₃.

♦ Medimos y mostramos los ángulos de cada vértice del triángulo para evidenciar que efectivamente el ángulo interno de cada vértice fue divido en dos partes iguales.

♦ Trazamos un polígono por los puntos de B de la bisectriz como se muestra en el vídeo para construir el triángulo circunscrito color azul con las puntos de la bisectrices.

Como se puede observar en la captura los ángulos pares en cada uno de los vértices del triángulo son iguales, por tanto las bisectrices quedan demostradas. Queda definido el nuevo triángulo circunscrito con los puntos de intersección de las bisectrices de cada lado del triángulo original.

Tarea Nº 6

Visualizar cuatro triángulos juntos. Dibuja los cuatro triángulos: el triángulo principal ABC, y los triángulos formados por las bases de las altitudes, las bisectrices de los ángulos y las medianas. En el dibujo debe haber cuatro (o tres) triángulos. (Es normal que desaparezca el triángulo formado por las bases de las altitudes).

Podemos guiarnos por los pasos previamente indicados para la construcción de los triángulos formados por bases de las altitudes, bisectrices y mediatrices, de manera separada. Solo que en este caso, todos van juntos en el mismo gráfico.

No marcaré los ángulos y/o distancias que demuestran las característica de cada tipo, pues han suficientemente recurrentes en las tareas previas y la presentación sería un poco más despejada y sencilla.

_{Triángulo ABC y el triángulo circunscrito con las alturas}

_{Triángulo ABC y los triángulos circunscritos con las alturas y con las mediatrices}

_{Triángulo ABC y los triángulos circunscritos con las alturas, bisectrices y meditarices}

Notas:

📌 Imágenes propias presentadas con la aplicación canva.com
📌 Invito a participar a mis amigos @paholags @marito74 @genomil @cruzamilcar63 @dove11 @goodybest
📌 Más información del concurso en el siguiente enlace.
📌 Mi twitter: steemit_casv

¡Gracias por su visita!