[수학, 계산] 제타함수 계산법

나는 적분 계산들이나 특수 함수들의 성질들 유도를 주로 즐겨 하는데, 오늘은 리만 제타 함수에 대해서 이야기 해 보려고 한다. 일단 리만 제타 함수는 다음과 같은 수열의 합으로 표현된다.

[사실 이 방법 말고도 특수 함수들을 이용하여 리만 제타 함수를 정의 할 수 있다. [Re(s) >1 이 s 에서 제타함수는 수렴한 값을 가집니다]
https://en.wikipedia.org/wiki/Riemann_zeta_function 위키 링크 참조 ]

특별히 s=1 인 경우,

값이 발산한다는 것은 잘 알려져 있다. (조화 수열) [ 이 사실은 고교 수학에도 등장한다. ] 또한 s>1 보다 큰 경우 급수판정법에 의해 [p-test] 수열의 합이 수렴한다는 사실을 알 수 있고

신기한 것은 s=0 이거나 s=-1 일 때 특정한 regulartor 를 도입함으로써 finite 한 값을 구할 수 있다는 점인데

zeta(0)이라는 것은 1, 즉 양수를 무한히 더한다는 건데 신기하게 극한값이 음수가 나온다!!!! , zeta(-1) 도 마찬가지이다 양수들의 무한합이 음수를 준다는 놀라운 결과를!!!!! 관련 계산은 다음 기회에 다루도록 하자

오늘 내가 하고 싶은 계산들은 s 가 짝수인 경우이다. 리만 제타 함수의 짝수 값들은 exact 하게 구할 수 있는데, [analytic 하게 구할 수 있다는 말이다]

이를 구하는 대표적인 방법으로 Fourier transformation 이나 Parseval's theorem, Complex analysis 의 특이한 contour integral 등으로 구할 수 있다.

[특정한 리만 제타 값들을 알고 싶다면 https://en.wikipedia.org/wiki/Particular_values_of_the_Riemann_zeta_function
링크를 들어가 보면 좋을 것이다. ]

내가 오늘 여기서 소개하고자 하는 방법은 이런 고급 수학적 지식을 요구하는 방법이 아니다. 고등학교 수학적 지식 조금 나아가 1학년 학부생 수준 으로도 충분히 이런 리만 제타 함수 값들을 구할 수 있다는 것을 보여주려는 것이 이번 포스트의 목적이다.

먼저 이를 위해서는 테일러 급수전개에 대해서 알아야 한다. 테일러 전개는 특정 함수를 특정 지점에서 근사하는 방법으로

위의 식은 f(x) 를 a 근방으로 테일러 전개 한것으로 위첨자는 n 번 미분한 도함수를 의미한다. 이를 이용해

를 얻을 수 있다. [여기에 x=\pi 를 대입하면 우변을 0으로 만들면 오일러의 등식을 얻을 수 있다. 오일러의 등식에 대한 일반적인 이야기는 @yhstella 님의 [자연과학 이야기] 박사가 사랑한 수식 의 포스트를 참조하시길~]

우리가 이용할 함수는 로그함수로 테일러 전개를 이용하면 (|x|<1)

위 두식을 빼고 x 에 특정 값을 대입하면

양변을 비교해 보면

자 이제 두번째 식의 세타를 [0, 세타]까지 적분하면

를 얻고 세타에 pi/2 를 대입하면

이 식으로부터 다음과 같이 zeta(2) 값을 구할 수 있다.

앞서 구한

식에 위에 해당하는 pi^2/8 값을 이용하면

식을 얻고 이 식을 적분하고 위와 같은 방법을 반복하면 zeta(4) 를 구할 수 있다.

앞에서 썻던 비슷한 방법으로

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자 이제 zeta(6) 을 구하려면 앞에 구했던 식에 세타에 pi/2 대입

을 얻고 적분하여 똑같은 방법으로 1/n^6 에 대해 정리, ... 이와 같은 계산을 반복하면 된다.

일련의 방법으로 zeta(2N) 값을 정확하게 구할 수 있다. 물론 다른 테크닉을 이용해 해당 값을 구하거나.. 아니면 이미 계산 된 값들을 읽어낼수 있다.[mathematica에 이미 내장되어 있다]

이공계 쪽을 진학해 공부를 하다보면 제타함수는 정말 자주 등장하는데, 종종 결과값들만 받아들이지 유도를 잘 해보지 않는 경우가 많아, 비교적 쉬운 유도방법을 정리해 본다. zeta(2) 같은 경우는 크게 5가지 방법으로 구할 수 있는데... 너무나 지엽적인 기교(?) 들을 사용한 방법도 포함되어 따로 정리하지는 않는다.