[수학, 계산] 감마함수 전개 2 : 계산 및 응용

지난번 포스팅 기본편에 이어

식을 유도하고 이 식을 가지고 간단한 응용을 해보려고 합니다.

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기본적으로 감마함수의 재귀적 성질로 부터 Gamma(z+1) = z Gamma(z)

일반적인 교과서 내용 방법으로 음의 감마함수 값들을 구할 때 위와 같은 전개방식을 쓰곤 합니다. 여기서 기본편에서 구한

식과 등비급수 합 공식을 사용했습니다. 분모의 epsilon^2 텀들을 묶어 보면 저런 어떤 분수의 제곱의 합으로 쓰인다는 것을 쉽게 볼 수 있습니다.

이제 다음으로 할 것은 Gamma(n+1+epsilon) 의 전개로 epsilon 에 대한 taylor 전개를 이용하여

계산 과정에 기본편에서 구한

식을 사용했습니다.

자 이제 구한 결과들을 본 식에 대입해보면

주의할 것은 epsilon에 4 오더까지 구했지만 분모에 epsilon 이 하나 더 있어 3차까지만 정확성이 있고 더 큰 항을 위해서는 더 많은 항까지 계산을 해야 한다는 점입니다. 즉 더 높은 차수까지 항을 전개해야, 대략적으로 x^4 계수를 구해야 3차 항까지 정확하게 구할 수 있습니다.

이제 남은 일은 n=0 을 대입하여 식을 정리하는 일만 남았습니다. 기본편에서 구한 psi(1), psi'(1), psi''(1) 값을 가져오면

이를 대입하면

를 얻습니다.

Application

복소 함수와 함께 이 결과는 놀라운 계산을 할 수 있게 해 줍니다.
먼저 복소 적분 식들을 나열해 보면

식으로부터

를 얻습니다. pole 이 없을 경우 contour integral 은 0 을 주니까, 임의의 함수 A(z) 에 대해서

를 만족함을 알 수 있습니다. 이런 식으로 감마함수와 관련된 복소함수 적분에서 감마함수의 전개식은 유용하게 쓰입니다~ ㅎㅎ