BREVES MATEMÁTICOS ( UNA APLICACIÓN DEL TEOREMA DE BANACH-ALAOGLU )

UNA APLICACIÓN DEL TEOREMA DE BANACH-ALAOGLU

Si E es un espacio de Banach, hay una topología, aparte de la natural dada por la norma, que es de suma importancia para la teoría del Análisis Funcional. Una es la topología débil dada a partir de la familia E^* de las funcionales continuas. Esta topología viene determinada por la base de entornos W(x₀; f₁, . . . , f_n, ε) ={ x ∈ E: |f_k(x) − f_k(x₀)| < ε con k = 1, ⋯, n } (f_k∈E^*, ε>0) y se denota mediante σ(E,E^*). Por el teorema de Hahn‑Banach, dados dos vectores distintos x,y∈E, existe un funcional continuo f, tal que f(x)≠0 , f(y)=0. Esto dice que la familia es separadora de puntos y por lo tanto la topología débil σ(E,E^*) es Hausdorff. Algo importante de notar, es que dada {x_d} una red en E y x∈E; entonces x_d→x débilmente, es decir en la topología σ(E,E^*) , si y sólo si, f(x_d)→f(x) para toda f ∈ E^*.

El espacio dual E^* es a la vez un espacio de Banach.

Para cada x∈ X, podemos considerar x^{^}: E^*→C, definida por x^{^}(f)=f(x), para cada funcional continua f.

Es claro que x^{^} es continua es decir x^{^} ∈ E^** (el doble dual de E).

Además la aplicación J:E→ E^**, dada mediante J(x)=x^{^} es una isometría,
es decir ||J(x)||=||x||, para todo x∈ E.

En general J(E)⊊ E^**.

Ahora consideremos en el espacio de Banach E^*, la familia de entornos básicos W(f; x₁, . . . , x_n, ε) ={ g ∈E^* : |x_k^{^}(g) − x_k^{^}(f)| < ε con k = 1, ⋯, n } (x_k∈E, ε>0) define una topología sobre E^*, llamada la topología débil *, que se denota por σ(E^*,E). Podemos decir también, que si {f_d} es una red en E^* y f∈E^*; entonces f_d→f débilmente *, es decir en la topología σ(E^*,E) , si y sólo si, f_d(x)→f(x) para todo x∈ E.

El famoso teorema de Banach-Alaoglu, nos dice que en ( E^*,σ(E^*,E) ), la bola unitaria B_E^*=B(0,1)={ f ∈ E^* : ||f||| ≤1 } es débilmente * compacta. Es decir compacta en la topología débil * σ(E^*,E) . Este hecho notable, permite demostrar un resultado importante del análisis funcional:

Si E es un espacio de Banach, entonces existe un espacio topológico compacto Hausdorff (S,τ) y una isometría Λ:E→C((S,τ),C).

Aquí C((S,τ),C)={ ψ : (S,τ)→C: ψ continua } con ||ψ||=sup{| ψ(s) |: s ∈ S}

El teorema de Banach-Alaoglu es la clave de la demostración. Considere S=B(0,1) y la topología restringida τ= σ(E^*,E)| B(0,1).

Sean las funciones x^{^}|B(0,1), veamos que son continuas con respecto a la topología σ(E^*,E)| B(0,1). En efecto, dado f ∈ B(0,1) y ε>0, si U(f(x), ε)={r∈C |f(x)−r|< ε }, entonces ( x^{^}|B(0,1))⁻¹(U(f(x), ε))=B(0,1)∩ W(f; x, ε) , de lo que se prueba lo afirmado.

Se define ψ (x)= x^{^}|B(0,1), y es inmediato ver que ||ψ(x)||=|| x^{^}|B(0,1)||=||x||.

Terminemos con una aplicación del resultado anterior.

Sea B(E) el espacio de Banach de los operadores acotados sobre E.

Sea T:E→E un operador acotado, D={ f ∈ (B(E))* : ||f||| =f(I)=1 }. Se define el rango numérico de T, al subconjunto de los números complejos

W(T)= { f (T): f ∈ D}.

Primero observemos que W(T) es cerrado en la topología usual de los números complejos. En efecto, supongamos que f_n(T) →r en la topología usual de los números complejos. Sabemos que cada f _n∈ (B(E))* con ||f_n ||=1, por lo tanto existe f ∈ (B(E))* con ||f|| ≤1 tal que f _{n_k}→ f débilmente *. Como f _{n_k}(I)=1 → f (I), se deduce que f ∈ D, lo que prueba que r=f(T) ∈ W(T).

Por un argumento semejante al anterior, se demuestra fácilmente que

(D, σ(E^*|D) )es un espacio topológico compacto Hausdorff.

Además cada T^{^}|D pertenece al espacios de las funciones continuas
X=C( (D, σ(E^*|D) ),C) que es también un álgebra de Banach conmutativa con unidad.

Si T^{^}|D no es una unidad del álgebra C( (D, σ(E^*|D) ),C),

entonces existe un ideal máximal M, tal que T^{^}|D ∈ M, pero existe un f ∈ D, tal que M_f = { ψ ∈ X : ψ(f)=0 }=M. Esto dice que f(T)=0 ∈ W(T) y recíprocamente.