CARACTERIZACIÓN DE MÓDULOS ABSOLUTAMENTE PLANOS II

CARACTERIZACIÓN DE MÓDULOS ABSOLUTAMENTE PLANOS II

Recordemos que un módulo M sobre un A anillo conmutativo con identidad es plano, si dado cualquier ideal finitamente generado I de A, entonces I ⊗ M≅IM (isomorfos como R-módulos). Un anillo conmutativo con identidad A es absolutamente plano, si cada módulo M sobre R es plano.

Veamos algunos resultados importantes sobre módulos absolutamente planos:

Si A es absolutamente plano, entonces A_S es plano para cualquier anillo localizado por un conjunto S multiplicativamente cerrado.

Dado a/s ∈ A_S, existe b tal que a=ba², entonces a/s=((b.s)/1)(a/s)², se deduce lo pedido.

A es absolutamente plano, si y sólo si, A_m es un cuerpo para cada ideal máximal m de A.

El directo sale del resultado anterior y usando el hecho de que A_m es un anillo local. Para ver el recíproco observe que

Tor₁^A^_m(M_m,N_m)=(Tor₁^A(M,N))_m=0 por ser A_m un cuerpo, como esto vale para un ideal máximal m arbitrario, se deduce que Tor₁^A(M,N)=0. Es decir M esplano para cada A-módulo.

Finalizamos con el principal resultado de estas líneas:

Son equivalentes las siguientes condiciones: (1) A/√ A es un anillo absolutamente plano (2) Spect(A) sólo tiene ideales máximales (3) Spect(A) con su topología de Zariski es T₁ (4) Spect(A) con su topología de Zariski es T₂

(1) ⇒ (2) Si A/√ A es un anillo absolutamente plano, entonces Spect(A/√ A) está constituido sólo por ideales máximales m+√ A y como √ A ⊂m ∈ Spect(A), es fácil ver que cada m es máximal .

(2) ⇒ (1) Supongamos primeramente que el radical del anillo √ A=0. Veamos que para cada m∈Spect(A) el anillo localizado A_m es un cuerpo. En efecto, Sabemos que A_m es un anillo local, cuyo único ideal máximal es el ideal mA_m={r /s: r∈m, s ∉ m} y como √ A_m =(√ A) _m=mA_m=0, se deduce que A es absolutamente plano.

Supongamos ahora que √ A ≠ 0. Es claro que Spect(A/√ A)={ m+√ A: m∈Spect(A)=Max(A)}, de lo que se infiere que cada ideal primo de A/√ A es máximal y como √ (A/√ A)=0, se deduce que A/√ A es absolutamente plano.

(1) ⇒ (4) Como A/√ A es absolutamente plano, su topología de Zariski es Hausdorff y como ya hemos probado, cada ideal primo de A es máximal. Sea el morfismo de anillos π: A→A/√ A (a →a+√ A) y π ^* :Spect(A/√ A)→Spect(A) (m →π⁻¹ (m)) es continuo respecto a las respectivas topologías de Zariski y la aplicación π^* es inyectiva. Se deduce que Spect(A) es T₂.

(4) ⇒ (3) Obvio.

(3) ⇒ (2) Supongamos que cada { m} es cerrado con ∈Spect(A). Veamos que m es un primo máximal. Si M no es máximal existe m₁ ideal primo máximal de A con m⊂ m₁ . Existe por lo tanto un entorno básico de m₁, digamos D(r)={ P∈Spect(A): r ∉ P} con m ∉ D(r). Es decir r ∈ m. Como 1=w+b.r (w ∈m₁) y como r ∈ m ⊂ m₁ , llegamos a que 1∈ m ₁, lo que es contradictorio. Se deduce lo pedido.

Nota, Esta caracterización es una resolución de un ejercicio del libro "Introducción al Álgebra Conmutativa " de Atiyah-Macdonald (Editorial Reverté, 1978).