COMPLETACIONES Y 𝑨 −TRANSFORMACIONES

1. TOPOLOGÍAS ÁDICAS



En este trabajo 𝑅 será un anillo conmutativo con identidad y se dirá local si contiene un sólo ideal máximal 𝒎. Escribiremos (𝑅, 𝒎) para indicar un anillo conmutativo local.

Dado 𝑀 un 𝑅-módulo y una familia de submódulos {𝑀_𝑛}_𝑛∈𝑁, tales que 𝑀_𝑛 ⊃ 𝑀_𝑛+1, ∀ 𝑛 ∈ 𝑁, diremos de ella que es una filtración en 𝑀. Esta filtración determina una topología natural 𝜏_𝑀𝑛 sobre 𝑀, donde 𝑈 ∈ 𝜏_𝑀𝑛, si dado 𝑥 ∈ 𝑈, existe un entorno fundamental del origen 𝑀_𝑛, tal que 𝑥 + 𝑀_𝑛⊂ 𝑈. Esta topología es llamada la topología lineal inducida por la filtración {𝑀_𝑛}_𝑛∈𝑁 y denotaremos mediante (𝑀, 𝜏_𝑀𝑛) al espacio topológico determinado por esta filtración.

La topología 𝜏_𝑀𝑛 es Hausdorff, si y sólo si, ⋂_𝑛∈𝑁 M_n = {0}. Una sucesión {𝑥_𝑛}_𝑛∈𝑁 es de Cauchy, si para cada entorno fundamental M_k, existe 𝑠(𝑘) ∈ 𝑁, tal que x_n+1− x_n∈ M_k, ∀ 𝑛 ≥ 𝑠(𝑘). Si toda sucesión de Cauchy converge, se dice que (𝑀, 𝜏_𝑀𝑛) es completo.


En general (𝑀, 𝜏_𝑀𝑛) no es ni Hausdorff, ni completo. Consideremos en (𝑀, 𝜏_𝑀^𝑛) los conjuntos 𝐶 = {{x_n}_𝑛∈𝑁: {x_n}_𝑛∈𝑁 es de Cauchy } y 𝐶₀ ={{𝑥_𝑛}_𝑛∈𝑁: {𝑥_𝑛}_𝑛∈𝑁 es convergente a 0 }. Es claro que 𝐶₀ ⊂ 𝐶 y por lo tanto podemos considerar el R-módulo cociente 𝑴^∗ = 𝑪/𝐶₀. Se define 𝑀^∗_k ={{𝑥_𝑛}_𝑛∈𝑁+ 𝐶₀ ∈ 𝑴^∗ : tales que 𝑥_𝑛∈ 𝑀_k, ∀ 𝑛 ∈ 𝑁}. Se prueba que la familia 𝑀^∗_k es una filtración y determina el espacio topológico (𝑴^∗, 𝜏_𝑀^∗k) Hausdorff y completo.

El espacio topológico lineal (𝑴^∗, 𝜏_𝑀^∗k) se le llama la completación de (𝑀, 𝜏_𝑀^𝑛) y posee la siguiente propiedad universal:

Dado un 𝑅-módulo 𝑁 con filtración {𝑁_𝑛}_𝑛∈𝑁 talque (𝑁, 𝜏 _N^𝑛) es Hausdorff y completo, y 𝑓: 𝑀 → 𝑁 es un homomorfismo que preserva las filtraciones, es decir 𝑓(𝑀_𝑛) ⊂ 𝑁_𝑛 ; entonces existe un único homomorfismo lineal y continuo 𝑓^∗: (𝑀^∗, 𝜏_𝑀^∗k) → (𝑁, 𝜏 _N^𝑛) tal que 𝑓^∗∘ 𝜃 = 𝑓, siendo 𝜃: (𝑀, 𝜏_𝑀^𝑛)→ (𝑀^∗, 𝜏_𝑀^∗k) el homomorfismo canónico 𝜃(𝑥) = ({x}_𝑛∈𝑁: +C₀). Realmente , para cada sucesión de Cauchy {x_𝑛}_𝑛∈𝑁, tenemos que 𝜃(x_𝑛)→{x_𝑛}_𝑛∈𝑁 en la topología 𝜏_𝑀^∗k. Es decir 𝜃(M)^{―𝜏_𝑀∗k} = 𝑀^∗. El lector puede seguir el estudio de las topologías lineales en (Atiyah, 1978), (Matsumura, 1970) y la teoría topológica puede estudiarse en (Dixmier, 1984).

Particularmente, trabajamos sobre las topologías 𝐼 −ádicas. Es decir en un anillo conmutativo con identidad, consideramos un ideal 𝐼, y para un R-módulo cualquiera, damos la la filtración natural 𝑀_𝑛 = 𝐼^𝑛𝑀. Diremos que (𝑀, 𝜏 _I^𝑛M) es la topología lineal 𝐼 −ádica. Para abreviar la simbología escribiremos simplemente 𝜏 _I^𝑛M=𝜏 _M^I. Un caso importante que se presenta es cuando 𝑅 es un anillo Noetheriano y el ideal 𝐼 ⊂ 𝐽(𝑅) (radical de Jacobson). En este caso, si 𝑀 es finitamente generado como 𝑅 −módulo, entonces ⋂_𝑛∈𝑁 𝐼^𝑛𝑀 = {0}. Es decir la topología 𝜏 _M^I es Hausdorff. La condición de Hausdorff es esencial para nuestro trabajo. Importante serán los anillos de Zariski, es decir aquellos R anillos noetherianos para los cuales en (𝑀, 𝜏 _M^I) con M finitamente generado, cada submódulo es cerrado en al topología 𝜏 _M^I .

2. COMPLETACIONES Y 𝑨 −TRANSFORMACIONES



En esta sección (𝑅, 𝒎) es un anillo conmutativo noetheriano local.

Sea una familia {H_n}_𝑛∈𝑁 de 𝑅-módulos, tales que cada espacio topológico
(H_n, 𝜏 _Hn^m) es Hausdorff. De igual manera, dado un módulo 𝑀 sobre 𝑅, consideramos el espacio topológico (M, 𝜏 _M^m).

Si 𝑓_𝑛: 𝑀 → H_𝑛 es un morfismo de 𝑅-módulos, como 𝑓_𝑛(m^kM) ⊂ m^kH_𝑛, la familia 𝐴 = {𝑓_𝑛: (𝑀, 𝜏) → (H_𝑛, 𝜏_𝑛)} es una familia de morfismos continuos. Una red {x_d}_d∈D en 𝑀 se llama una A−red, si 𝑓_𝑛(x_d)→ 𝑤_𝑛 en la topología 𝜏 _Hn^m, con 𝑤_𝑛 ∈ H_𝑛 , ∀ 𝑛 ∈ 𝑁. Dos 𝐴 −redes {x_d}_d∈D y {y_d}_d∈D´ se dirán equivalentes, si lim 𝑓_𝑛(x_d)=lim 𝑓_𝑛(y_d) ∀ n ∈ 𝑁 . Este hecho lo denotaremos {x_d}_d∈D ≈_A {y_d}_d∈D´. Realmente ≈_A define una relación de equivalencia en la familia de todas las A−redes. Por [ {x_d}_d∈D] entenderemos la clase asociada a la A−red {x_d}_d∈D. El conjunto clases de las A−redes la denotaremos mediante 𝑌 = { [ {x_d}_d∈D]}. Es importante notar que, debido a que cada espacio topológico (H_𝑛, 𝜏_𝑛) cumple con el primera axioma de numerabilidad, podemos elegir en cada clase una A-sucesión como representante.

Introduzcamos ahora la familia [ A]= {[ f_n]:Y→H_n}, definida cada [ f_n] ( [{x_m}_m∈N])=lim_m→+∞f_n (x_m) . En 𝑌 introducimos la topología débil 𝜏 _{[ A]}(𝑌) inducida por la familia [ A]. Esta topología es claramente Hausdorff. Diremos que ( [ A], 𝜏 _{[ A]}(𝑌)) es una 𝐴 −transformación.


En 𝑌 podemos considerar una estructura de 𝑅 −módulo. Si [{x_m}_m∈N], [{z_m}_m∈N]∈ 𝑌 y 𝛼 ∈ 𝑅; se prueba sin dificultad que [{x_m}_m∈N]+[{z_m}_m∈N]= [{x_m}_m∈N+z_m}_m∈N] y 𝛼[{x_m}_m∈N]= [{𝛼x_m}_m∈N] definen las operaciones correspondientes. Si consideramos (𝑌, 𝜏_Y^m) donde 𝜏_Y^m es la topología en 𝑌 dada por la filtración 𝑚-ádica {𝑚^k𝑌}_k∈𝑁. Es inmediato ver que cada [ f_n] es un morfismo de 𝑅 −módulos y como [ f_n] (𝑚^k𝑌) ⊂ 𝑚^k𝑀_n, las 𝑓[ f_n] : (Y,𝜏_Y^m)→ (Y,𝜏_Mn^m) son continuas. Sea 𝑒: 𝑀 → 𝑌 definido por 𝑒(𝑥) =[{x}_𝑛∈𝑁 ] . Se presenta el importante resultado:


Lema 1. (1) 𝑒: (M,𝜏_M^m)→ (Y,𝜏_Y^m) es continua con (𝑒(𝑋))^―_𝜏Ym=Y.

(2) 𝑒: (M,𝜏_M^m)→ (Y,𝜏_{[ A]}(Y)) es inyectiva, si y sólo si, 𝐴 es una familia separadora de puntos en 𝑀.

(3) Si {𝑦_𝑛}_𝑛∈𝑁 es una [ A] -sucesión en 𝑌, existe 𝑦 ∈ 𝑌 tal que 𝑦_𝑛→ 𝑦 débilmente.

(4) 𝑒: (M,𝜏_M^m)→ (Y,𝜏_{[ A]}(Y))|𝑒(𝑀)) es un homeomorfismo, si y sólo si, 𝐴 es separadora de puntos en 𝑀 y 𝜏_𝐴(𝑀) =𝜏_M^m.

Aquí 𝜏_𝐴(𝑀) es la topología débil sobre 𝑀 inducida por la familia 𝐴 𝑦 𝜏_{[ A]}(Y))|𝑒(𝑀) la topología relativa en 𝑒(𝑀).

La referencia [Wu, 1983] presenta una prueba de este resultado topológico.

Es importante notar que 𝑒: 𝑀 → 𝑌 es un morfismo de 𝑅-módulos.

Presentemos el siguiente resultado:


Teorema 2. La familia 𝐴 es separadora de puntos, si y sólo si, ⋂_𝑛∈𝑁 𝑘𝑒𝑟𝑓_𝑛 = {0}.

Demostración: Para ver el directo, considere 𝑥 ∈⋂_𝑛∈𝑁 𝑘𝑒𝑟𝑓_𝑛 . Si 𝑥 ≠ 0, existe 𝑓_𝑛 tal que 𝑓_𝑛 tal que 𝑓_𝑛(𝑥) ≠ 𝑓_𝑛(0) = 0, lo que conduce a una contradicción.

Para ver el recíproco considere 𝑒(𝑥) =[{x} _𝑛∈𝑁 ]= [{0} _𝑛∈𝑁 ] se deduce que 𝑥 = 0 y por lo tanto 𝑒 es una inyección. Aplicando el lema 1 se deduce que 𝐴 es separadora de puntos.∎

El siguiente resultado es uno de los fundamentales:

Teorema 3. Si (H_n,𝜏_Hn^m) es completo ∀ 𝑛 ∈ 𝑁, {𝑦_i} _i∈𝑁 es de Cauchy en (Y,𝜏_Y^m), entonces {𝑦_i} _i∈𝑁 converge en (𝑌,𝜏_{[ A]}(Y)).

Demostración: Como [ f_n] (𝑚^k𝑌) ⊂ 𝑚^kH_n, se deduce que { [ f_n] (𝑦_i)} _i∈𝑁 es de Cauchy en (H_n,𝜏_Hn^m), el cual es completo. Es decir [ f_n] (𝑦_i) → 𝑧_𝑛 en 𝜏_Hn^m . Esto dice que {𝑦_i} _i∈𝑁 es una [ A] −sucesión y por el lema 1, 𝑦_i→ 𝑦 débilmente para algún 𝑦 ∈ 𝑌, finalizamos la prueba.∎


Teorema 4. Si 𝑌 es un 𝑅-módulo finitamente generado y 𝜏_{[ A]}(Y))= 𝜏_Y^m
entonces 𝑒(𝑀) = 𝑌.

Demostración: Como (𝑒(𝑋))^―_𝜏Ym=Y y por hipótesis (𝑒(𝑋))^―_𝜏Ym= (𝑒(𝑋))^{―_{𝜏[ A]}(Y)}=Y, ya que 𝑅 es un anillo de Zariski por ser local y noetheriano. Se deduce lo pedido.∎

Sean 𝑀_𝑛 = 𝑀 = 𝑅 (∀ 𝑛 ∈ 𝑁), la topología lineal 𝜏_R^m dada por la filtración {𝑚^𝑘}_𝑘∈𝑁 y la familia de morfismos de anillos 𝐴 = {𝑓_𝑛: (𝑅, 𝜏_R^m) →(R,𝜏_R^m)}_𝑛∈𝑁, tales que f_𝑛(𝑚) ⊂ 𝑚, ∀ 𝑛 ∈ 𝑁. Definimos ([{ 𝑥 _k}_𝑘∈𝑁 ])([{ z _k}_𝑘∈𝑁 ])=[{ 𝑥 _kz _k}_𝑘∈𝑁 ] se puede demostrar sin dificultad que 𝑌 tiene una estructura de anillo conmutativo con identidad [ {1}_𝑛∈𝑁] . En este caso la aplicación [f _n]: 𝑌 → 𝑀_𝑛 es realmente un morfismo entre anillos. Además la topología 𝜏_[A](𝑌) es lineal.

Teorema 5. Sean 𝑀_n= 𝑀 = 𝑅 (∀ 𝑛 ∈ 𝑁), y sus topologías lineales dadas por la
𝜏_R^M. Sean los morfismos de anillos 𝑓_n: 𝑅 → 𝑅, tales que 𝑓_n(𝑚) ⊂ 𝑚, ∀ 𝑛 ∈𝑁. Consideremos la familia 𝐴 = {𝑓_n: (𝑅, 𝜏_R^m) → (𝑅,𝜏_R^m)}_𝑛∈𝑁. Si (𝑅, 𝜏_R^m) es completo y consideramos 𝑒 :(𝑅,𝜏_R^m) → (𝑌, 𝜏_[A](𝑌)), entonces 𝑒(𝑚) ⊂ 𝐽(𝑌) (radical de Jacobson).

Demostración: Sean 𝑥 ∈ 𝑚, 𝑦 ∈ 𝑌. Definamos 𝑦_𝑛 = 1 + 𝑒(𝑥)𝑦 + 𝑒(𝑥²)𝑦² + ⋯ + 𝑒(𝑥ⁿ)𝑦ⁿ.

Si 𝑝 > 𝑞, entonces 𝑦_p − 𝑦_q = 𝑒(𝑥^q+1)𝑦^q+1 + ⋯ + 𝑒(𝑥^p)𝑦^p

Como (𝑒(𝑥ⁿ)) = 𝑥ⁿ𝑒(1), se deduce que 𝑦_p − 𝑦_q ∈ 𝑚ⁿ𝑌, 𝑝 > 𝑞 > 𝑛. Es decir {𝑦_p }_𝑝∈𝑁 es de Cauchy en (𝑌, 𝜏_𝑌^𝑚), y por lo tanto 𝑦_p → 𝑤 en la topología 𝜏 _[A](Y), para algún 𝑤 ∈ Y (por el teorema 3).

Como 𝑦_p − 1 = 𝑒(𝑥)𝑦(1 + ⋯ + (𝑒(𝑥)𝑦)^{p− 1}) y la topología 𝜏 _[A](Y), es lineal, deducimos que 𝑤 − 1 = 𝑒(𝑥)𝑦𝑤 ⟹ 1 = 𝑤(1 − 𝑒(𝑥)𝑦) ⟹ 1 −𝑒(𝑥)𝑦 es una unidad del anillo 𝑌. Se deduce que 𝑒(𝑥) ∈ 𝐽(𝑌).∎


Sería interesante preguntarse bajo qué condiciones en forma general, 𝑌 es una completación de (𝑀, 𝜏_𝑀^𝑚). El siguiente resultado apunta hacia dicha interrogación:

Teorema 5. Si 𝑒: (M,𝜏_M^m)→ (Y,𝜏_{[ A]}(Y))|𝑒(𝑀)) es un homeomorfismo con 𝜏 _[A](Y)=𝜏_M^m, entonces (1) Si [ {𝑥_p}_𝑝∈𝑁] ∈ 𝑌, entonces {𝑥_p}_𝑝∈𝑁 es de Cauchy en (M,𝜏_M^m) (2) Si [ {𝑥_p−𝑥´_p}_𝑝∈𝑁] = [ {0}_𝑝∈𝑁], entonces (𝑥_p−𝑥´_p)→0 en 𝜏_M^m (3) 𝐹: (𝑌,𝜏_Y^m)→ (𝑴^∗, 𝜏_𝑀^∗k) definida por 𝐹 ([ {𝑥_p}_𝑝∈𝑁] ) = {𝑥_p}_𝑝∈𝑁+ C₀ es un monomorfismo y continuo.

Demostración: (1) (𝑌, 𝜏_M^m) es Hausdorff. Consideremos 𝑦 = [ {𝑥_p}_𝑝∈𝑁]. Sabemos que 𝑒(_p) → 𝑦 en la topología 𝜏 _[A](Y)=𝜏_M^m. Queremos ver que {𝑥_p}_𝑝∈𝑁 es de Cauchy. Sea 𝑚^𝑛𝑀 un entorno fundamental de origen , luego 𝑒(𝑚^𝑛𝑀) = 𝑊⋂𝑒(𝑀), con 𝑊 un entorno del origen en 𝜏_M^m. Existe 𝑚^r 𝑌, 𝑟 > 𝑛 , tal que 𝑒(𝑥_p+1 − 𝑥_p) ∈ 𝑚^r 𝑌⋂𝑒(𝑀) ⊂ 𝑊⋂𝑒(𝑀),∀ 𝑝 > 𝑠(𝑟), luego 𝑥_p+1 − 𝑥_p ∈ 𝑚^r M, ∀ 𝑝 > 𝑠(𝑟), donde 𝑠(𝑟) depende de 𝑛. Se deduce lo afirmado.

(2) Se prueba por un razonamiento análogo al anterior.

(3) Por las partes (1) y (2) de la demostración, se ve que 𝐹 ([ {𝑥_p}_𝑝∈𝑁] ) = {𝑥_p}_𝑝∈𝑁+ C₀ está bien definida. Veamos que es monomorfismo. Sea 𝐹 ([ {𝑥_p}_𝑝∈𝑁] ) = {0}_𝑝∈𝑁+ C₀, luego 𝑥_p→ 0 en 𝜏_𝑀^𝑚 y por lo tanto{f_k(𝑥_p)}→ 0. Es decir [ {𝑥_p}_𝑝∈𝑁] =[ {0}_𝑝∈𝑁] .

Estudiemos la continuidad. Si (𝑚^𝑘𝑀)^* es un entorno fundamental del origen, consideremos y luego 𝑦 ∈𝑚^𝑘Y; luego y= [ {𝑥_p}_𝑝∈𝑁] con 𝑥_p ∈ 𝑚^𝑘𝑀. Se deduce que 𝐹 ([ {𝑥_p}_𝑝∈𝑁] ) = {𝑥_p}_𝑝∈𝑁+ C₀ ∈ (𝑚^𝑘𝑀) ^* . Esto garantiza la continuidad. ∎


Finalizamos con dos notas importantes:

Nota 1. Si en el teorema anterior, suponemos de entrada que cada (M_k, 𝜏_Mk^m) es completo, entonces 𝑌 es Hausdorff completo y realmente el morfismo 𝐹 ([ {𝑥_p}_𝑝∈𝑁] ) = {𝑥_p}_𝑝∈𝑁+ C₀ es un ismorfismo continuo. Lo que dice que (𝑌, 𝜏_𝑌^𝑚) es una completación de (𝑀, 𝜏_M^𝑚).∎

Nota 2. Si en el teorema anterior, partimos del hecho de que 𝑀 es un 𝑅 −módulo finitamente generado, entonces su completación 𝐶/ C₀ es finitamente generado como 𝑅 −módulo, y por lo tanto 𝑌 es finitamente generado. Usando el teorema 4, concluimos que (𝑀, 𝜏_M^𝑚) es Hausdorff y completo. Por ejemplo considere para 𝑀 finitamente generado como 𝑅 −módulo, el módulo localizado 𝑀_𝑚 y sus respectivas topologías lineales 𝑚 −ádicas. Sea 𝐴 = {𝜃: (𝑀, 𝜏_M^𝑚) → (𝑀_𝑚 , 𝜏_𝑀𝑚^𝑚 con θ(𝑥) =x/1)}. Es un cálculo de rutina ver que 𝑒: (𝑀, 𝜏_M^𝑚) → (𝑒(𝑀), 𝜏_{[ A]}(Y))||𝑒(𝑀)) es un homeomorfismo, notando que 𝑒 es inyectiva y 𝜏_M^𝑚 =𝜏_A(M)). Si 𝜏 _[A](Y)=𝜏_M^m entonces 𝑌 es finitamente generado como 𝑅 −módulo. Esto dice que (𝑀, 𝜏_M^𝑚) . De lo contrario 𝜏 _[A](Y)⊊𝜏_M^m .

REFERENCIA

Atiyah M. F. y Macdonald I. G. (1978): “Introducción al Álgebra Conmutativa”. Editorial Reverté S. A. Barcelona.

Dixmier J. (1984): “General Topology”. Springer-Verlag, Inc. New York. Matsutmura, H. (1970) “Commutative Algebra”. W. A. Benjamin, Inc. New York.

Wu Hueytsen J. (1983) “Extension new observations of Tychonoff, Stone Weirstrass Theorems, Compactifications and Real Compactifications”. Topology and its Aplications 16.

Sancho de Salas P. (2019) “Algebra Conmutativa”. Universidad de Extremadura. Plasencia.

Rosales E. (2017) “Topología de Zariski y 𝐴 −transformaciones”. Revista Tecnocientífica URU. No. 13 Julio-Diciembre.