CONJUNTOS BIEN ORDENADOS

^{CONJUNTOS BIEN ORDENADOS}

Sea (C, < ) un conjunto ordenado parcialmente. Se dice que C es una cadena, si dados dos elementos distintos a, b ∈ C , entonces a < b, o b < a . Un conjunto C ordenado parcialmente que es una cadena, se dice que es bien ordenado, ti todo subconjunto B de C , tiene un primer elemento.

Consideremos un C conjunto bien ordenado y f: C → C una función uno a uno, tal que si a ≤ b (es decir a < b, o a = b), entonces f(a) ≤ f(b); vamos a demostrar que a ≤ f(a), ∀ a ∈ A . En efecto, sea B ={ c ∈ C: f(c) < c }. Si B no es el conjunto vacío, entonces existe un elemento mínimo b ∈ B. Tenemos que f(b) < b, luego f(f(b)) < f(b). Es decir f(b) ∈ B lo que es contradictorio. Esto prueba lo afirmado.

Del resultado anterior obtenemos algunas consecuencias importantes. Si f: C → C es biyectiva y a ∈ C es el primer elemento de C; entonces a =f(b) y por lo tanto b ≤ f(b) = a , de lo que se deduce que b = a . Es decir f(a) = a.

Recordemos que si C es un conjunto ordenado parcialmente, un segmento inicial de C , es un subconjunto de la forma S(a) = {c ∈ C: c < a (a ∈ C)} . Si C es un conjunto bien ordenado, entonces no puede existir una función f: C → S(b) biyectiva que preserve el orden, para algún segmento S(b) de C. De lo contrario, por el resultado anterior a ≤ f(a), ∀ a ∈ A y por lo tanto b ≤ f(b) < b, lo que es contradictorio.

Una caracterización importante de los conjuntos bien ordenados es la siguiente:

(C, < ) es un conjunto bien ordenado, si y sólo si, no existe una
sucesión descendente infinita a₁ > a₂>⋯ > a_n > ⋯ .

Ahora supongamos que C = A ∪ B donde A, B con el orden parcial heredado de C , son conjuntos bien ordenados, entonces C es bien ordenado. De lo contrario existe en C una sucesión descendente infinita a₁ > a₂>⋯ > a_n > ⋯; ⋯ . Lo anterior conlleva a que existe una subsucesión descendente infinita a_n₁ > a_n₂>⋯ > a_{n_k} > ⋯ en A, o B. Esto conduce a una contradicción.

Terminemos con el siguiente problema: Si C es un subconjunto de los números reales y C con el orden natural de os números reales está bien ordenado, entonces C es contable. En efecto, consideremos un a ∈ C, luego el conjunto CA_a ={ c ∈ R: a < c } tiene un primer elemento, que llamaremos c_a , luego existe un número racional r_a con a < r_a < c_a, se prueba sin dificultad que la aplicación f(a) = r_a define una función inyectiva, lo que prueba lo afirmado.