^{1. DETERMINANTE DE UN ENDOMORFISMO}

Sea ϴ:F→F un endomorfismo, donde F es un módulo sobre R, libre y de rango n. Se sabe que la potencia exterior ΛⁿF es un módulo sobre R, libre y de rango y por lo tanto ΛⁿF≅R. Aquí se supondrá siempre que R es un anillo conmutativo con identidad.

Sea Λⁿϴ: ΛⁿF →ΛⁿF, veamos que es una homotecia que no depende la base elegida de ΛⁿF . En efecto, sen x, x´ dos bases de ΛⁿF, luego x´=βx. Si Λⁿϴ(x)= αx, entonces Λⁿϴ(x´)=βΛⁿϴ(x)=β( αx)= α(βx)=αx´.

Se define det( ϴ)=α.


Dada una base e₁,...,e_n de F, luego ϴ(e_i)=∑ _j=1ⁿa_ije_j, luego


Λⁿϴ(e₁Λ...Λe_n)=(∑ _σ∈Ssigσ(a_1σ(1)...a_nσ(n)))e₁Λ...Λe_n. Es decir


det( ϴ)=∑ _σ∈Snsigσ(a_1σ(1)...a_nσ(n)), fórmula bastante conocida.

^{2. PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES}

Teorema 2.1(Desarrollo del determinante por los elementos de una columna) Si A=(a_ij)∈M_n×n(R) y

A_rs=det(1,...,r^,...,n:1,...,s^,...,n)=[ 1,...,r^,...,n:1,...,s^,...,n]), entonces

det(A)=∑ _r=1ⁿ(−1)^r+sa_rs[ 1,...,r^,...,n:1,...,s^,...,n].


Aquí (1,...,r^,...,n:1,...,s^,...,n) es la matriz que se obtiene de la original, sustrayendo la fila r y la columna s, respectivamente y [ 1,...,r^,...,n:1,...,s^,...,n]=det (1,...,r^,...,n:1,...,s^,...,n) .

Demostración . Sea e₁,...,e_n una base de F. Podemos definir

ϴ(e_j)=∑ _i=1ⁿa_ije_i (j=1,2,...,n).

Se sabe que Λⁿϴ(e₁Λ...Λe_n)=det(a_ij).

Es claro que Λⁿϴ(e₁Λ...Λe_n)=(−1)^s-1ϴ(e_s)Λϴ(e₁)Λ...Λϴ(e_s)^{^}Λ...Λϴ(e_n)

Se sabe que ϴ(e_s)=∑ _i=1ⁿa_ise_i (i=1,2,...,n), por lo tanto

ϴ(e₁)Λ...Λϴ(e_s)Λ...Λϴ(e_n)=

(−1)^s−1(∑ _i=1ⁿa_ise_i )Λϴ(e₁)Λ...Λϴ(e_s)^{^}Λ...Λϴ(e_n)=

(−1)^s−1∑ _i=1ⁿa_ise_i Λϴ(e₁)Λ...Λϴ(e_s)^{^}Λ...Λϴ(e_n).

Lo anterior aseguro, que cuando i se fija, podemos sustraer a_ije_i en cada ϴ(e_j).

Sea L´un módulo sobre R de rango n−1 con base e₁´,...,e_n−1´. Se define ϴ_r: L´→F mediante ϴ_r(e_i´)=e_i (1≤i<r) y ϴ_r(e_i´)=e_i+1 (r ≤i).

Sea ϴ_s:F→L´por ϴ_s(e_i)=e_i´(i<s), ϴ_s(e_s)=0 y ϴ_s(e_i)=e_i−1´ (s<i).

Sea h_rs=ϴ_s∘ϴ∘f_r. Se prueba que det( h_rs)=A_rs=[ 1,...,r^,...,n:1,...,s^,...,n].

Estudiemos la expresión ϴ(e₁)Λ...Λϴ(e_s)^{^}Λ...Λϴ(e_n)

Se ha supuesto que ϴ(e_j)=∑ _t≠ia_tje_t (j≠s) y se puede identificar con un operador h_is, por lo tanto

e_iΛϴ(e₁)Λ...Λϴ(e_s)^{^}Λ...Λϴ(e_n)=A_ise_iΛe₁Λ...Λe_i^{^}Λ...Λe_n.

Se concluye que

(−1)^s−1∑ _i=1ⁿa_ise_i Λϴ(e₁)Λ...Λϴ(e_s)^{^} Λ...Λϴ(e_n)=

(−1)^s−1∑ _i=1ⁿa_isA_ise_iΛe₁Λ...Λe_i^{^}Λ...Λe_n

= ( ∑ _i=1ⁿ (−1)^s−1+i+1a_isA_is)e₁Λ...Λe_n.

Es decir det(A)=∑ _i=1ⁿ (−1)^s+ia_isA_is∎

^{3. DESARROLLO DE LAPLACE DE UNA MATRIZ}

Proposición 3.1. Si A=(a_ij)∈M_n×n(R), entonces

∑ _i=1ⁿa_ir[ 1,...,i^,...,n:1,...,s^,...,n]=det(A)δ_rs

Demostración. Sea B=(b_ij) ∈M_n×n(R), tal que b_ir=b_is=a_ir (i=1,2,..,n) con s≠r, y b_ij=a_ij el resto de los casos. Tenemos que

∑ _i=1ⁿ(−1)^i+sa_is[ 1,...,i^,...,n:1,...,s^,...,n]=0

entonces

(−1)^s∑ _i=1ⁿ(−1)ⁱa_is[ 1,...,i^,...,n:1,...,s^,...,n]=0

Se deduce que

∑ _i=1ⁿ(−1)ⁱa_is[ 1,...,i^,...,n:1,...,s^,...,n]=det(A)δ_rs.

∎

^{4.RESOLUCIONES DE ECUACIONES LINEALES HOMOGÉNEAS}

Recordemos que si A=(a_ij)∈M_m×n(R), y t≤min(m, n), podemos considerar I_t(A) el ideal generado por todos los determinantes de submatrices de de A de tamaño t×t. Es claro que I_t(A) ⊆ I_s(A) si s≤t. Recordemos que Ann(I_t(A))={a∈R: a.α=0, para todo α∈I_t(A)}.

Definición 4.1 Sea A=(a_ij)∈M_m×n(R) y r≤min(m, n). Se dice que r=rk(A) es el rango de la matriz A, si r=max{t: Ann(I_t(A))=0}.

Teorema 4.1 (McCoy). Sea el sistema de ecuaciones lineales homogéneas:

a₁₁x₁+...+a_1nx_n=0

........................

a_m1x₁+...+a_mnx_n=0

El sistema de ecuaciones lineales homogéneas tiene solución no trivial, si y sólo si, la matriz A tiene rango menor que n.

Demostración. Para ver el directo, es claro que el resultado vale si m
<n, ya que r=rk(A)≤min(m,n)=m <n. Sea B= (b_ij)∈ M _n×n (R) una submatriz de A de tamaño n×n y B^{^}=(b_ij^{^})=cof_ji(B) donde b_ij^{^}=(−1)^i+j[ 1,...,j^,...,n:1,...,i^,...,n]. Se sabe que B^{^}B=det(B)I_n×n. De esta última expresión deducimos que x_idet(B)=0 para todo i=1,2,...,n y como un x_i≠0, se deduce el directo.

Para ver el recíproco, sea r=rk(A), luego existe a≠0 tal que a∈ Ann(I_r+1(A)). Si r=0, entonces a∈ Ann(I₁(A)). Es claro que (a,a,...,a) ∈Rⁿ es solución del sistema. Supondremos por lo tanto 1≤r <min(m.n), luego existe un menor [ i₁,...,i_r:j₁,...,j_r], tal que a.[ i₁,...,i_r:j₁,...,j_r]≠0. Sin pérdida de generalidad, supondremos que este menor es:

=[ 1,...,r:1,...,r].

Sea c_i=cof_r+1,i=(−1)^i+r+1[ 1,...,i^,...,r+1:1,..,r] (i=1,2,...,r+1) y consideremos los escalares x_i=c_ia, luego x_r+1=[ 1,...,r:1,...,r]a≠0. Probemos que (x₁,...,x_r+1,0...,0) es una solución no trivial del sistema de ecuaciones lineales homogéneas. Veamos que

a_i1x₁+...+a_i(r+1)x_r+1=0 (i=1,2,...,m).

En efecto si 1≤i≤r, entonces

a_i1x₁+...+a_i(r+1)x_r+1=

a(∑ _j=1^r+1a_ij(−1)^j+r+1[ 1,...,j^,...,r+1:1,..,r+1])=

a(−1)^r+1(∑ _j=1^r+1a_ij(−1)^j[ 1,...,j^,...,r+1:1,..,r+1]=

a(−1)^r+1δ_i(r+1)=0.

Supongamos ahora que i≥r+1 y consideremos la matriz

=

luego det(B)=∑ _j=1^r+1(−1)^j+r+1b_(r+1)j[ 1,...,j^,...,r+1:1,...,r,(r+1)^]=

∑ _j=1^r+1(−1)^j+r+1a_ij[ 1,...,j^,...,r+1:1,...,r,(r+1)^]. entonces adet(B)=0 ya que B es un menor de orden r+1 y por lo tanto

a_i1x₁+...+a_i(r+1)x_r+1=0 para i≥r+1 . Se termina la prueba.∎

Corolario 4.1. Sea f:F→G endomorfismo de R-módulos libres de rangos n y m respectivamente. Dadas las bases {e₁,...,e_n} y {é₁,...,é_m} de F y G respectivamente; entonces f es inyectiva, si y sólo si, el rango de la matriz A=(a_ij)∈M_m×n(R) es n, donde f(e_j)=∑ _i=1^ma_ijé_i.

Demostración. Para ver el directo, supongamos que f:F→G es inyectivo. Si rk(A) <n . luego ∑ _i=1ⁿa_ijx_i=0 tiene solución no trivial , luego ∑ _j=1ⁿx_je_j≠0 y como f(∑ _j=1ⁿx_je_j)=0, llegamos a una contradicción. El recíproco se sigue fácilmente.∎

Ejemplo 4.1. Dado el sistema de ecuaciones lineales homogéneos con coeficientes en Z₃

x−2y−z−w=0

y−w=0

x−y+z=0

Halle una solución no trivial usando el método de McCoy.

Solución.

Sea la matriz

Es directo ver que rk(A)=r=3 y a=1∈Ann(I₄(A))

Sea el menor

Luego

Entonces (acof_4,1,acof_4,2,acof_4,3,acof_4,4)=(1,2,1,2) como es inmediato verificar.∎

5. DUAL DE UNA POTENCIA EXTERIOR

Teorema 5.1 Sea M un módulo libre sobre R y de rango n, entonces para todo r≥0 se tiene que (Λ^r(M))^*≅Λ^r(M^*).

Demostración. Si r=0, el resultado se sigue. Sea r >0. Dadas las funcionales f₁,...,f_r, se define d:M^r→R por d(x₁,...,x_r)=det(f_i(x_j)). Es fácil ver que d es multilineal alternada. Existe por lo tanto η:Λ^r→R tal que η(x₁Λ...Λx_r)=det(f_i(x_j)). Se define ζ:(M^*)^r→ (Λ^r(M))^* por ζ(f₁,...,f_r)= η. Se prueba que η es multilineal alternada. Existe por lo tanto ϴ:Λ^r(M^*)→(Λ^r(M))^* tal que ϴ(f₁Λ...Λf_r)=ζ(f₁,...,f_r)= η.

Para concluir la prueba consideremos una base {e₁,...,e_n} de M y su base dual {e₁^*,...,e_n^*} .

Definamos Ψ:(Λ^r(M))^*→Λ^r(M^*) por Ψ(g)=∑ _{1≤i1<...<ir≤n} x_i1....ir e_i1^*Λ...Λe_ir^* donde x_i1...ir=g(e_i1Λ...Λe_ir).

Consideremos la composición ϴ∘Ψ(g)=∑ _{1≤i1<...<ir≤n} x_i1....ir ϴ(e_i1^*Λ...Λe_ir^*), luego ϴ∘Ψ(g)(e_j1Λ...Λe_jr)=∑ _{1≤i1<...<ir≤n} x_i1....jr ϴ(e_i1^*Λ...Λe_ir^*)(e_j1Λ...Λe_jr)=∑ _{1≤i1<...<ir≤n} x_i1....irdet(e_is^*(e_jt)=x_j1....jr., de lo que se deduce la inyectividad. Realmente es también sobreyectiva. Note que {ϴ(e_i1^*Λ...Λe_ir^*) } es la base dual de {e_i1Λ...Λe_ir }. Se prueba lo pedido.∎

REFERENCIAS

(1) William Brown: Matrices over conmutative rings. Marcel Dekker. New York. 1993.

(2) A. Micali y O. Villamayor: Estructuras algebraicas IV (Agebra multilineal) O.E.A. Washinton D.C. 1976.