PRELIMINARES
Para nosotros X será un espacio de Banach complejo y X* su espacio dual. También B(X) denotará el espacio de los operadores lineales acotados. Un subespacio M de X será siempre cerrado con respecto a la topología de la norma; y si T:X→X es un operador acotado y T(M) ⊂ M, diremos que es invariante para T. Por latT denotaremos la familia de todos los subespacios invariantes para T. Un operador T ∈ B(X) se llamará regular regular (o lleno), si (TM)— = M, para todo M ∈ latT, donde la barra denota la clausura en la topología de la norma.
Por AT , entenderemos el Álgebra fuerte generada por T. Es decir A ∈ AT, si existe una red de polinomios Q i(Z), tales que Q i(T)→ A fuertemente, es decir ||Q i(T)(x)−A(x)||→ 0, para todo x ∈ X.
Recordemos que si T ∈ B(X), el espectro σ(T) = {λ ∈ C : T − λI no es invertible}. Por el espectro puntual σp, se entiende los λ ∈ σ(T), tales que ker(T − λI) ≠ 0 . Por la resolvente del operador T, el conjunto numérico: ρ(T) = C−σ(T) y ρ∞(T) será la componente no acotada de ρ(T).
Si K ∈ B(X), tal que dada una sucesión acotada {xn} ⊂ X, existe una subsucesión {xnk} tal que Txnk→ y, para algún y ∈ X; entonces diremos que el operador K es compacto. Por otro lado, diremos que T ∈ B(X) es un operador de Riesz, si cumple las siguientes propiedades: (1) Si λ ≠ 0, entonces ker(T − λI)n es de dimensión finita para todo n ≥ 1; y existe r ∈ N, tal que ker(T − λI)n = ker(T − λI)r para todo n ≥ r (2) Si λ ≠ 0, entonces (T − λI)n(X) es cerrado para todo n; y existe s ∈ N tal que (T − λI)n = (T − λI)s para todo n ≥ s. (3) Si {λn} es un sucesión infinita de valores propios, tales que λn→ 0, entonces λ = 0. Es conocido que todo operador compacto es de Riesz. Además si A ∈ B(X) es casinilpotente, es decir σ(T) = {0}, entonces la perturbación compacta A + K es de Riesz. Valen los siguientes resultados:
Sea X un espacio de Banach y T ∈ B(X). Si T no es regular; entonces existen, un vector no nulo x ∈ X y f ∈ X *, tales que f(x) = 1, f(Tn(x)) = 0 para todo n ≥ 1 .
(Sarason) Sea T ∈ B(X). Si ρ(T) es la resolvente de T y ρ∞(T) su componente no acotada, valen los resultados: (1) Si λ y λ0 pertenecen a la misma componente conexa de ρ(T), entonces lat(T − λI)−1= lat(T − λ0I)−1 (2) Si λ ∈ ρ∞(T) entonces lat(T − λI) −1(T) = lat(T)
RESULTADOS PRINCIPALES
Si X es un espacio de Banach y T:X→X es un operador acotado, dado un subespacio M invariante para T, entonces podemos considerar el espacio de Banach cociente X ^=X/M , donde ||x+M||=inf { ||x+m||:m∈M}. Se define el operador acotado T ^: X ^→X ^ definido mediante T ^(x+M)=T(x)+M. Una propiedad importante que tiene este operador T ^ , es que es de Riesz si el operador T es de Riesz.
Dado un subespacio N de X, además invariante para el operador acotado T:X→X, podemos considera el subespacio N ^={ x+M: x∈N} y se puede ver sin dificultad que N ^ es invariante para T ^. Vamos a demostrar un resultado simple pero fundamental:
Sea N es un subespacio de X , M⊂N y T(M)—=M. Si (T ^(N+M)) —=N+M, entonces (T(N)) —=N ( las barraras indican clausuras en sus topologías respectivas).
Para demostrarlo, considere x ∈N; luego existen w n en N, tales que
w n+M→x+N. Si ε k → 0 con ε k>0, podemos hallar una subsucesión w n k y vectores z n k ∈M, tales que ||T(w n k )−x+ z n k ||≤ ε k/2.
Por otro lado existen r n k ∈M, tales que ||T(r n k )− z n k ||≤ ε k/2.
Como ||T(w n k +r n k )−x||≤ ||T(w n k )−x+ z n k ||+||T(r n k )− z n k ||≤ε k, se deduce
que x∈ (T(N)) — ya que w n k +r n k ∈M. Esto dice que N⊂(T(N)) —. Para ver la otra inclusión, considere x∈N, luego T ^(x+M))=z+M con z∈N, se deduce que T(x)∈N+M ⊂NN, lo que prueba la otra inclusión.
Pasemos a demostrar otro resultado importante:
Si T:X→X un operador regular, entonces T ^: X ^→X ^ es regular.
Sea W un subespacio invariante para T ^, luego existe un N invariante para T, tal que M⊂N y W=N+M. Sabemos que (T(N)) —=N. Si x∈N, existen w n∈N tal que T(w n)→x, luego T ^(w n+M)→(x+M), lo que garantiza lo afirmado.
Vamos ahora a demostrar nuestro resultado principal:
Sean X un espacio de Banach , T : X→ X un operador invertivle y A i una red de operadores de Riesz en AlglaT ∩ {T}´. Si A i → T fuertemente, entonces T es un operador regular.
Supongamos que T no es un operador regular. Sea ρ 0(T) la componente conexa que contiene al origen y λ ∈ ρ 0(T), λ ≠ 0. Se tiene por Sarason que latT −1 = lat(T −λI) −1 y por lo tanto T −λI no es regular.
Existe x ∈ X, f : X → C una funcional acotada, tales que
f(x) = 1 y f((T −λI)nx) = 0, para toda n ≥ 1.
Sea M =∨+∞n=0(T − λI)n(x) (la clausura del subespacio lineal generado por las potencias (T − λI)n(x)). Es claro que M, (T − λI)(M) son invariantes para T y por lo tanto M, (T − λI)(M) son invariantes para cada Ai.
Además M = (T − λI)M⊕< x >
y con respecto a esta suma directa, tenemos las escrituras:
con λi∈C, T1: (T − λI)M→(T − λI)M, Ai1: (T − λI)M→(T − λI)M,
T2, Ai2: < x >→(T − λI)M.
Como
se deduce que λi≠ 0 partir de cierto índice.
Tenemos que
no es un operador invertible y como Ai|M es un operador de Riesz, deducimos que ker(Ai|M −λi)≠ 0 y de dimensión finita.
Sea la familia F = {N ∈ latT : 0 ⊊ N ⊊ M, ((T − λ)N)— = N}.
Si F=∅, como Ni es invariante para T, entonces (T − λI) Ni= Ni, lo que es contradictorio.
Si F ≠ ∅, existe un L ∈ F, máximal con respecto a la inclusión. Consideremos Xˆ =X/L.
Es claro que Tˆ , Ai ˆ son operadores acotado sobre Xˆ,
Ai ˆ ∈ Alglat(Tˆ)∩ {Tˆ}´ , cada es Ai es un operador de Riesz y
Ai ˆ→ Tˆ fuertemente.
Es claro que (T − λI)−1L ⊂ L y por lo tanto (T − λI)ˆ es un operador invertible.
Se puede ver sin dificultad que Mˆ = (T − λI)ˆ( Mˆ)⊕< x >ˆ, por lo tanto tenemos las representaciones:
Usando los mismo argumentos anteriores para ψ ∈ (Xˆ)*, tal que ψ(xˆ) = 1, ψ((T − λI)ˆ(Mˆ) = 0, llegamos a que existe N invariante para T, L ⊊N⊊ M, N≠ 0 , tal que ((T − λI)ˆ(Nˆ)— = Nˆ , por lo tanto ((T − λI)N)— = N. Esto contradice la máximalidad de L, lo cual es un absurdo. Se deduce que T es regular.
COMENTARIOS FINALES
Es importante referir que el resultado final presentado, es una generalización de uno abordado por la profesora Lesbia Ortuñez en su tesis de maestría: "Condiciones para que un álgebra de operadores esté generado por un operador lleno".
El resultado dice explícitamente
Sea T un operador invertible sobre un espacio de Hilbert separable H. Si los operadores casinilpotentes en el álgebra débil AT son débilmente densos allí, entonces T −1∈ AT.
El profesor Wilson Pacheco en un trabajo de ascenso "Operadores llenos" , en La Universidad del Zulia, prueba el mismo resultado que la profesora Ortuñez con algunas variantes.
REFERENCIAS
[1] P. Aiena: Fredholm and Local spectral Theory,with Applications to Multipliers. Kluwer Acad. Publishers. Dordrecht. 204.
[2] G. Bachman and L. Narici: Functional Analysis. Academic Press. New York and London . 1966.
[3] J.Bravo: Relations between latT, latT −1, latT2 and operators with compact imaginary parts. Ph. D. Dissertation. University of California. Berkeley. 1980.
[4]H. Dowson: Spectral Theory of Linear Operator. Academic Press.1978.
[5] E. Kreyszig: Introductory Functional Analysis with Applications. Jhon Wiley Sons. 1978.
[6] W. Pacheco: Operadores llenos. Trabajo de ascenso para optar a la categoría de titular. FEC-LUZ. Maracaibo. 2007.