APLICACIÓN DE LOS LÍMITES Y DERIVADAS DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE EN PROBLEMAS DE RAZONES DE CAMBIO RELACIONADAS Y SU IMPLEMENTACIÓN EN MAXIMA

Un gran saludo a toda la comunidad de Steemit y a los miembros de #STEM-ESPANOL y #STEEMSTEM, después de un receso forzado debido a cambios en mi vida personal y laboral estoy retomando la publicación de artículos científicos en Steemit, en el artículo de hoy abordaré una de las aplicaciones de los límites y derivadas de funciones de una variable, específicamente la relacionada con la definición de la derivada como razón de cambio de dos variables.

En diversos cursos de cálculo al introducir el concepto de derivada se suelen emplear dos enfoques, conocidos popularmente como “sentido geométrico” y “sentido físico” del concepto de derivada, el sentido geométrico se basa en la definición de derivada como pendiente de la recta tangente a la función original en un punto dado, mientras que el sentido físico hace referencia a la derivada de la función posición como el equivalente a la velocidad instantánea de la partícula en un tiempo dado, de esta forma al hablar de velocidad instantánea se hace alusión a la razón a la que cambia la posición de la partícula en función del tiempo.

Es decir, se crea una asociación entre el concepto de derivada y la razón de cambio de una variable respecto a otra, en este sentido la notación:

Que se usa para representar a la derivada, en muchos problemas suele ser tratada como la razón a la que cambia la variable y en función del cambio en la variable x, es decir, si por cada aumento de una unidad en x la variable y aumenta dos unidades, se puede establecer que

Un ejemplo claro del uso de la derivada como razón de cambio, lo tenemos a continuación:

Ejemplo N° 1

La ganancia de una empresa depende de su producción, por cada unidad de producto que se elabore la empresa gana 1.000 Bs. S., represente esta relación utilizando la notación de derivada como razón de cambio.

Se establece la variable x como el número de unidades producidas y la variable y como la ganancia de la empresa en Bs. S., teniendo esto en cuenta se cumple que

Ahora para encontrar la función de ganancia se encuentra la antiderivada de esta expresión en función de la variable x, obteniendo

Esta función permite calcular la ganancia obtenida (Bs. S), en base a la producción (unidades de producto), sin embargo, en la práctica los problemas de razones de cambio suelen emplear variables que se relacionan entre si como se apreciará en el siguiente ejemplo:

Ejemplo N° 2

Un hombre corre a velocidad constante de 3 m/s y atraviesa un punto determinado en dirección al este, 15 minutos después otro hombre atraviesa el mismo punto en dirección al norte corriendo a una velocidad de 2,5 m/s. ¿Qué tan rápido cambia la distancia entre ambos hombres 10 minutos después de que el segundo hombre atraviesa el punto? ¿A que valor tiende la razón de cambio de la distancia entre ambos corredores asumiendo que los dos hombres nunca se detienen?

Para resolver este problema se representará el movimiento de ambos hombres en el plano cartesiano, estableciendo en el origen el punto por el que pasan ambos corredores.

Imagen N° 1 Representación en el plano cartesiano del recorrido de los dos corredores. Fuente: Elaboración propia.

Sea t el tiempo en segundos desde el instante en que el segundo hombre atraviesa el punto dado, llamemos al primer hombre A y al segundo B, se cumple que los hombres A y B están en las coordenadas X y Y respectivamente, como la velocidad de los corredores por definición es la razón de cambio entre la distancia recorrida y el tiempo, para el primer corredor

y para el segundo corredor se cumple

Representando por z la distancia entre ambos corredores se desea encontrar el valor de

En el instante de tiempo t=600 segundos (10 minutos), en la imagen número 1 apreciamos que la distancia entre ambos corredores se puede modelar mediante el teorema de pitágoras

Derivando en función de t

Sustituyendo las velocidades de ambos corredores

Por la forma en que hemos planteado el problema se cumple que la variable x y la variable y representan las distancias recorridas por ambos corredores, teniendo en cuenta que el tiempo t comienza a correr una vez que el segundo corredor cruza el punto dado, se cumple que el primer corredor ya tiene 15 minutos de recorrido, es decir, se obtienen los siguientes valores para ambos corredores

Corredor	Velocidad	Tiempo corriendo en t=600 seg	Distancia recorrida
A	3 m/s	25 min (1.500 seg)	4.500 m
B	2,5 m/s	10 min (600 seg)	1.500 m

Tabla N° 1. Velocidad, tiempo y distancia del recorrido de ambos corredores. Fuente: Elaboración propia.

La distancia entre ambos corredores es de

Luego al sustituir los valores de las distancias

Es decir, 10 minutos después de que el segundo hombre atraviesa el punto dado, la razón de cambio de la distancia que separa a ambos corredores es de 3,64 m/s.

El resultado obtenido anteriormente puede ser verificado utilizando el Sistema de Álgebra Computacional Maxima y el siguiente Script


/*******************************+/
/ DERIVADA COMO RAZÓN DE CAMBIO /
/ Licdo Ysmael González /
/*********************************/
t:0$
while t<=600 do
(
x:3(t+900),
y:2.5t,
z:sqrt(xx+yy),
razon:(3x+5*y/2)/z,
print("Tiempo: ",t," Razón_de_cambio: ",razon),
t:t+60
);

Con este script se puede observar el valor de la razón de cambio en cada minuto transcurrido, obteniendo los siguientes resultados:

"Tiempo: "0" Razón_de_cambio: "3
"Tiempo: "60" Razón_de_cambio: "3.125971334811328
"Tiempo: "120" Razón_de_cambio: "3.229614135438366
"Tiempo: "180" Razón_de_cambio: "3.315397747719974
"Tiempo: "240" Razón_de_cambio: "3.386869768959255
"Tiempo: "300" Razón_de_cambio: "3.446826894492818
"Tiempo: "360" Razón_de_cambio: "3.4974699623212
"Tiempo: "420" Razón_de_cambio: "3.540533467151972
"Tiempo: "480" Razón_de_cambio: "3.577389218604988
"Tiempo: "540" Razón_de_cambio: "3.609127416944956
"Tiempo: "600" Razón_de_cambio: "3.636619309193636

Lo cual coincide con el valor obtenido de forma analítica, ahora para determinar la razón de cambio de la distancia entre ambos corredores si los dos corren de forma indefinida se debe recordar que

Luego

Ahora recordando el teorema de pitágoras y combinándolo con la expresión anterior

Teniendo en cuenta que los valores de las distancias están en función del tiempo de acuerdo a las siguientes relaciones

Al combinar estas expresiones con la razón de cambio de z en función del tiempo t se obtiene

Si ambos corredores nunca se detienen entonces el tiempo tiende a infinito, es decir, la razón de cambio se expresa usando el concepto de límite

Este límite puede resolverse dividiendo tanto el numerador como el denominador entre t

Como se trata de un límite y t tiende a infinito, los cocientes en los que t aparezca en el denominador tienden a cero, es decir

Es decir, si ambos corredores nunca se detienen la razón de cambio de la distancia que los separa tenderá al valor de

Este resultado puede ser verificado utilizando Maxima y el siguiente Script


/*******************************+/
/ DERIVADA COMO RAZÓN DE CAMBIO /
/ Licdo Ysmael González /
/ STEM-ESPANOL /
/ UNEFM 2016 /
/*********************************/
t:0$
while t<=90000 do
(
x:3(t+900),
y:2.5t,
z:sqrt(xx+yy),
razon:(3x+5*y/2)/z,
print("Tiempo: ",t," Razón_de_cambio: ",razon),
t:t+6000
);


Obteniendo los siguientes resultados:

"Tiempo: "0" Razón_de_cambio: "3
"Tiempo: "6000" Razón_de_cambio: "3.896187649304796
"Tiempo: "12000" Razón_de_cambio: "3.90269103759635
"Tiempo: "18000" Razón_de_cambio: "3.90401135806198
"Tiempo: "24000" Razón_de_cambio: "3.904489315309311
"Tiempo: "30000" Razón_de_cambio: "3.904714522308228
"Tiempo: "36000" Razón_de_cambio: "3.904838223332682
"Tiempo: "42000" Razón_de_cambio: "3.904913380349162
"Tiempo: "48000" Razón_de_cambio: "3.904962431018241
"Tiempo: "54000" Razón_de_cambio: "3.904996202094189
"Tiempo: "60000" Razón_de_cambio: "3.905020438661182
"Tiempo: "66000" Razón_de_cambio: "3.905038419131819
"Tiempo: "72000" Razón_de_cambio: "3.905052125038026
"Tiempo: "78000" Razón_de_cambio: "3.905062811271336
"Tiempo: "84000" Razón_de_cambio: "3.905071303875673
"Tiempo: "90000" Razón_de_cambio: "3.905078164606112

El cual es el mismo resultado obtenido al resolver el límite, poniendo de relieve la eficacia del modelo matemático utilizado.

CONCLUSIONES

1. Los límites y derivadas de funciones de una variable tienen una gran cantidad de aplicaciones prácticas en la vida cotidiana.

2. Para obtener resultados acordes a la realidad en problemas de razones de cambio relacionadas es importante prestar mucha atención a la fase del modelado matemático.

3. Los Sistemas de Álgebra Computacional permiten verificar los resultados obtenidos mediante el análisis matemático, incluso permiten conjeturar los valores a los que tienden los límites al infinito.

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS Y LECTURAS RECOMENDADAS

1. Anton, Bivens y Davis (2010), Cálculo de una variable, Trascendentes tempranas. 2da edición Editorial Limusa Willey.

2. Budnick (2007), Matemáticas aplicadas para administración, economía y ciencias sociales. 4ta edición Editorial Mc Graw Hill.

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