Saludos estimados seguidores de Steemit y comunidad de #stem-espanol en general, continuando con las aplicaciones de las matemáticas en la ciencia, el día de hoy abordaré uno de los modelos utilizados para describir el movimiento de caída libre retardado por la resistencia del aire, uno de mis artículos anteriores se enfocó en un problema similar referente a la caída de un paracaidista, sin embargo, el presente artículo aborda una situación diferente.

Movimiento de una bala en ascenso. Fuente: Elaboración propia.

Las matemáticas suelen ser utilizadas para estudiar diversos fenómenos del mundo real, por ejemplo, cuando se dispara cualquier tipo de proyectil, la leyes de la mecánica pueden utilizarse para describir este movimiento, muchas veces al aplicar dichas leyes aparecen ecuaciones diferenciales ordinarias que deben ser resueltas para obtener una solución que pueda interpretarse y ser interpretada en el mundo real.

De esta manera, las abstracciones matemáticas permiten modelar situaciones reales y describir su evolución en el tiempo, sin embargo, no basta solo con modelar los fenómenos, también se deben aplicar técnicas matemáticas para resolver los modelos obtenidos, en el caso del disparo de una bala hacia arriba el movimiento puede ser descrito teniendo en cuenta que se trata de un típico caso de caída libre retardada por la resistencia del aire, en este sentido, la física ha construido una serie de modelos para describir este movimiento, uno de los cuales se explica en el presente artículo.

El movimiento de una bala que es disparada hacia arriba puede ser modelado utilizando algunos postulados básicos de la mecánica teniendo en cuenta que se trata de un ejemplo de caída libre en el que interviene la resistencia del aire, diversas expresiones matemáticas pueden ser aplicadas para modelar este fenómeno.

Por ejemplo, la segunda ley de newton establece que la fuerza que actúa sobre la bala es siempre igual a

Donde (m) es la masa de la bala y (a) su aceleración, definiendo la dirección positiva hacia arriba se establece que una fuerza positiva actúa acelerando la bala hacia arriba y una fuerza negativa actúa generando un movimiento hacia abajo.

En el caso del movimiento de la bala existen dos fuerzas que componen la fuerza total que actúa sobre la bala, la primera es la fuerza de gravedad y la segunda la resistencia del aire, matemáticamente esto se expresa como:

Donde F_t es la fuerza total, F_g la fuerza debida a la gravedad y F_r la resistencia del aire. La fuerza generada por la gravedad puede ser modelada teniendo en cuenta que dicha fuerza arrastra a la bala hacia abajo es decir en dirección negativa por lo tanto es igual a

En el caso de la resistencia del aire se utilizan diversas expresiones para modelarla, en un artículo anterior se modelo utilizando la expresión

Donde v es la velocidad del objeto y k una constante de proporcionalidad, sin embargo, esta expresión no es la única utilizada para modelar la resistencia del aire, en el caso del disparo de proyectiles se suele utilizar otra fórmula para la resistencia del aire la cual se expresa como:

Se observa que la resistencia del aire es negativa debido a que actúa hacia abajo al detener a la bala en su ascenso, combinando las ecuaciones 1,2 y 3 se obtiene

Teniendo en cuenta la segunda ley de newton

Recordando que la aceleración de un objeto en movimiento es equivalente a la razón de cambio de su velocidad en el tiempo (derivada), se puede sustituir la aceleración por:

Obteniendo

Ahora bien, esta expresión analiza el ascenso de la bala desde la perspectiva de la dinámica de las fuerzas involucradas, este análisis omite el cálculo de la distancia recorrida por la bala, si se quiere analizar la distancia se puede partir del hecho de que la velocidad de la bala equivale a la razón de cambio (derivada) de la distancia en el tiempo, es decir:

Según la regla de la cadena

Luego (5) puede reescribirse como

Esta Ecuación Diferencial Ordinaria involucra una derivada que incluye a la distancia, el método utilizado para resolverla se conoce como separación de variables y consiste en despejar en cada lado de la ecuación cada variable (v con dv) y (x con dx) y luego integrar ambo lados.

Dividiendo entre m

Integrando ambas expresiones se observa que

Realizando la sustitución

y

Se obtiene

Cuando la bala es disparada se encuentra a cero metros de altura de su punto de partida, es decir, cuando v=v₀ se cumple que x=0 por lo tanto

Al sustituir la constante de integración en la solución general se obtiene

Ejemplo

Una bala es disparada hacia arriba con una velocidad inicial vertical de 988 m/s, si la bala posee una masa de 0,00356 kg y una constante de resistencia del aire de k=0,0000073 kg/m determine la altura máxima que alcanza la bala.

Para encontrar la altura x se necesita conocer la velocidad de la bala en ese instante de tiempo debido a la naturaleza del movimiento en ese instante la velocidad de la bala es de 0 m/s ya que en ese punto comenzará a caer, (se omiten las unidades para simplificar los cálculos).

Es decir, la bala alcanza una altura máxima de 1.298 metros antes de empezar su descenso, adicionalmente también se puede analizar la variación de la velocidad de la bala en el tiempo, para este fin se utilizará la ecuación número 5 obtenida con anterioridad

Dividiendo ambos lados de la expresión entre m

La solución de esta ecuación diferencial permitirá obtener el valor de la velocidad en cada instante de tiempo. En el problema planteado la masa de la bala es de 0,00356 kg y la constante de resistencia del aire de k=0,0000073 kg/m, por lo tanto, la ecuación diferencial se expresa como

Aplicando factor común y separación de variables

Integrando ambos miembros

La integral del lado izquierdo puede ser resuelta utilizando la siguiente fórmula

Para realizar la sustitución se debe observar que

Luego al sustituir la ecuación número 11 en la número 10 se obtiene

Reemplazando los valores de u y a

Debido a que según los datos del problema en el instante de tiempo 0 la velocidad inicial de la bala es de 988 m/s se cumple que

Al sustituir la constante de integración en la solución general de la ecuación diferencial ordinaria se obtiene

Fórmula para calcular la velocidad de la bala en función del tiempo de recorrido.

Esta función permite calcular la velocidad de la bala en cualquier instante de tiempo, si se desea determinar el tiempo que tarda la bala en ascender hasta el punto más elevado de su trayectoria se debe recordar que en dicho punto su velocidad es cero debido a que está a punto de empezar a caer , es decir:

Por lo tanto, la bala tarda 10,58799025 segundos en llegar hasta su punto más elevado que como se demostró se encuentra ubicado a 1298,234140 metros de altura.

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Solución Numérica (Método de Runge-Kutta de 4° orden)

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En el ejemplo mostrado en el presente artículo se pudo resolver la ecuación diferencial ordinaria aplicando métodos provenientes del análisis matemático, sin embargo, existen casos en que dichos métodos no son suficientes, ante esta realidad se han desarrollado una serie de métodos numéricos que permiten obtener aproximaciones bastante fiables a las soluciones analíticas de las ecuaciones diferenciales ordinarias.

Con el fin de garantizar la precisión en la solución se suele utilizar un método desarrollado en los años 1900 por los matemáticos Carl David Tolmé Runge y Martin Wilhelm Kutta el cual se conoce como el método de Runge-Kutta de 4° orden, este método es uno de los más utilizados en la actualidad debido a su alto grado de precisión y por ser programado de forma elemental, para obtener la solución numérica de la ecuación diferencial ordinaria mediante el método de Runge-Kutta de 4° orden solo se requiere una condición inicial.

Las formulas utilizada por este método son las siguientes:

Donde h es el tamaño de paso, un valor bastante pequeño.

En líneas generales se inicia con la condición inicial y(x₀)=y₀, se estiman las cuatro pendientes s₁, s₂, s₃ y s₄ y mediante el promedio ponderado de estas pendientes se aproxima el siguiente valor de y_i a partir del valor anterior.

Este método puede ser aplicado al problema mostrado en el presente artículo, recordando que la ecuación número 9 y la velocidad inicial de 988 metros por segundo permiten construir el problema de valor inicial:

Debido a que la bala asciende hasta que t=10,58799025 segundos el intervalo llega hasta dicho punto es decir podemos aplicar el método de Runge-Kutta de 4° orden hasta un valor de t=10,5; si se selecciona un tamaño de paso de 0,25 se puede aplicar el método de forma eficiente.

En el presente artículo se utilizó el Sistema de Algebra Computacional WxMaxima el cual permite aplicar este tipo de métodos numéricos, a continuación se muestra el Script utilizado


/*************************************/
/* MÉTODO DE RUNGE-KUTTA de 4° ORDEN /
/ Licdo Ysmael González /
/ U.C. Cálculo Numérico /
/ UNEFM 2016 /
/*************************************/
f(t,v):=-9.8-0.002050562v^2$ /Ecuación diferencial a resolver/
t0:0$ v0:988$ /Condición inicial t0 y v0/
tf:10.5$ delta:0.25$ /Valor final del intervalo tn y tamaño de paso/
fpprintprec:5$ /Número de cifras decimales/
sol(t):=69.13159633tan((10.58799025-t)/7.054244523)$ /Solución analítica de la EDO/
tn:t0$ n:0$ vn:v0$ iter:(tf-t0)/delta$
print("");
while n<=iter do
(
s1:f(tn,vn),
s2:f(tn+(delta/2),vn+(s1delta/2)),
s3:f(tn+(delta/2),vn+(s2delta/2)),
s4:f(tn+delta,vn+(s3delta)),
g:sol(tn),
ep:abs(g-vn)100/g,
print("It=",n," t=",float(tn)," V(t)=",float(vn)," V.E.=",float(g)," E.P.=",float(ep),"%"),
n:n+1,tn:tn+delta,vn:vn+(delta/6)(s1+2s2+2s3+s4)
);


Este programa genera la siguiente salida:

Tiempo	v(t)	Sol. Aprox.	Error
0.0	988.0	988.0	0.000%
0.25	654.1	654.11	0.001654%
0.5	487.98	487.96	0.003%
0.75	388.35	388.33	0.003938%
1.0	321.81	321.79	0.003897%
1.25	274.12	274.11	0.003628%
1.5	238.18	238.17	0.003332%
1.75	210.07	210.06	0.003064%
2.0	187.43	187.42	0.002833%
2.25	168.75	168.75	0.002639%
2.5	153.06	153.05	0.002477%
2.75	139.64	139.64	0.002343%
3.0	128.02	128.02	0.00223%
3.25	117.84	117.83	0.002138%
3.5	108.81	108.81	0.002062%
3.75	100.74	100.74	0.002%
4.0	93.458	93.456	0.001952%
4.25	86.844	86.843	0.001915%
4.5	80.795	80.793	0.001888%
4.75	75.227	75.225	0.001872%
5.0	70.072	70.071	0.001865%
5.25	65.275	65.274	0.001867%
5.5	60.789	60.788	0.001879%
5.75	56.575	56.573	0.001901%
6.0	52.597	52.596	0.001933%
6.25	48.829	48.828	0.001976%
6.5	45.245	45.244	0.002032%
6.75	41.824	41.823	0.002102%
7.0	38.546	38.545	0.002189%
7.25	35.395	35.394	0.002295%
7.5	32.357	32.356	0.002424%
7.75	29.418	29.417	0.002583%
8.0	26.566	26.565	0.002779%
8.25	23.791	23.79	0.003025%
8.5	21.082	21.082	0.003336%
8.75	18.432	18.431	0.003739%
9.0	15.831	15.831	0.004277%
9.25	13.273	13.272	0.005026%
9.5	10.748	10.748	0.006131%
9.75	8.2518	8.2512	0.007909%
10.0	5.7763	5.7757	0.01122%
10.25	3.3155	3.3148	0.01946%
10.5	0.863	0.8623	0.07464%

Tabla N° 1 Variación de la velocidad en el tiempo según la solución Analítica y Numérica. Fuente. Elaboración propia.

En la tabla n° 1 se observa como disminuye la velocidad en el tiempo, se evidencia que tanto la solución analítica obtenida al resolver la ecuación diferencial ordinaria como la solución numérica al aplicar el método de Runge-Kutta de 4° orden arrojan valores muy cercanos. Recordando que la función de velocidad es la siguiente:

Se puede representar gráficamente como

Gráfica N° 1 Velocidad de la bala(m/s) en función del tiempo(s) durante el ascenso. Fuente: Elaboración propia mediante la herramienta https://www.desmos.com/

La altura de la bala se puede calcular teniendo en cuenta la ecuación número 8

Al sustituir los datos del problema planteado

Al sustituir la ecuación 12 en la expresión anterior se obtiene

Gráficamente la altura en función del tiempo se observa en la siguiente imagen

Gráfica N° 2 Altura de la bala(m) en función del tiempo(s) durante el ascenso. Fuente: Elaboración propia mediante la herramienta https://www.desmos.com/

Conclusiones

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1. Existen diversos modelos que estudian la resistencia del aire, dependiendo del tipo de problema estudiado suele aplicarse cada uno de ellos.
2. Las técnicas analíticas de resolución de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias permiten obtener soluciones exactas pero no siempre pueden ser aplicadas.
3. El Método de Runge-Kutta de 4° orden tiene una gran variedad de aplicaciones en la ciencia en general permitiendo obtener respuestas muy precisas a modelos matemáticos.

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REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS Y LECTURAS RECOMENDADAS

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1. Anton, Bivens y Davis (2010), Cálculo de una variable, Trascendentes tempranas. 2da edición Editorial Limusa Willey.

2. González (2018) Modelado Matemático mediante Ecuaciones Diferenciales Ordinarias, Caso de Estudio: Caída Libre retardada por la Resistencia del Aire (Resolución mediante SCILAB) Disponible aquí.

3. Resnick, Halliday y Krane (1993), Física. 3ra edición Compañía Editorial Continental México Volumen 1.

4. Saenz (2009), Cálculo Integral con Funciones Trascendentes Tempranas para Ciencias e Ingeniería. 2da edición Editorial Hipotenusa.

5. Sauer (2013), Análisis Numérico. 2da edición Editorial Pearson.

Imagen de dominio público. Fuente: @steemstem