[수학, 계산] 감마 함수의 정의-2, 그 나머지 편

지난 포스팅 에 이어서 감마함수의 여러 정의가 같은 표현을 나타내는 것을 보여 보려고 한다.

먼저 지난 포스팅에서 팩토리얼의 표현식과 가우스, 오일러의 감마 함수의 정의가 동등한 표현임을 보였다. 이번 포스팅에서는 Weierstrass 와 integral form 의 표현식도 같은 표현임을 보여 보려고 한다.

Weierstrass

이 정의의 특징은 감마함수의 정의에 감마상수가 들어간다는 점이다. 특히 이 정의는 di-gamma 나 poly gamma 를 다룰때 많이 사용한다.

Weierstrass의 form 이 Euler form 과 동등하다는 것을 보여보자.

중간에 이전 포스팅에도 사용했던 식인

쓰였다.

이번엔 Weierstrass 표현식이 가우스의 표현식과 동등하다는 것을 보여보자

Integral form

적분 형태가 가장 잘 알려진 감마함수의 정의이다.

Re(z)>0 인 부분에서 integration by parts 를 이용해서 이 함수의 정의가 팩토리얼과 같다는 것을 아주 쉽게 보일 수 있다.

이러고 그냥 넘어가면 너무 재미가 없으니 조금 변형해서 다른 정의와의 동등성을 확인해 보자.
먼저 gamma 함수를 살짝 변형해 보자.

이 식 역시 Re(z)>0 에서 잘 정의된다.

Integration by parts 를 통해

n 을 무한대로 취해보면 사실 이 함수가 감마함수와 같은 것임을 알 수 있다.

즉 감마함수의 적분형태가 가우스의 감마함수 정의와 동등함을 알 수 있다.

e^{-t} 의 정의를 이용한 방법

이 e^{-t} 의 정의를 이용해서 Gauss 형태로 가보자

여기서 사용한 식은

인데 이는 적분 표현식을 integration by parts 를 반복적으로 시행하면서 얻을 수 있다.

이를 반복하면