[수학, 잡담] Q[root 2] 가 체가 됨을 보여라 // Feat root 2는 무리수

최근에 아주 어린 한 당돌한 친구(?)로부터 질문이 들어왔다. ㅋㅋㅋ

가 Field 임을 어떻게 증명하냐고 ㅋㅋㅋ 여기서 Q 는 유리수를 말한다.
[여담으로 Q[root 2] 는 Q adjoin root 2 로 부르기도 하며 root 2를 포함하는 가장 작은 유리수의 확장체이다. ]

수학자들이 정의하는 체(Field) 는 0이 아닌 모든 원소가 unit 인 것을 말하는데, 쉽게 위 문제를 풀어쓰면 0이 아닌 모든 원소의 곱셈에 대한 역수가 연산안에 존재한다는 것을 보이라는 것이다.

이를 먼저 보이기 위해서는 먼저 저 Q[\sqrt{2}]의 0이 무엇인지에 대해서 생각할 필요가 있다.

조금만 더 나아가면 유리수 a,b 에 대해서

를 보이면 되는 건데 사실 이는 root 2 가 무리수임을 보이는 문제와 같은 문제이다. (왜냐하면 a=b=0 이면 당연히 왼쪽이 0이 될것이니, 나머지 방향만 보이면 되는 건데, a와 b 가 0이 아니라고 가정하면, 나머지 방향은 root 2 = - a/b 로 기술된다는 것을 말해 주기 때문이다. )

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심심한데 추억을 더듬어 한번 root 2 가 무리수임을 보여보자. 해당 증명이 아마 중고교 범위를 벗어나지 않을 것 같은데...

가장 교과서적인 증명 방법은 귀류법, 즉 명제의 결과를 부정하고 증명하면서 모순을 찾아내는 방법을 사용하는 풀이이다.

root 2 가 유리수라 가정하자, 즉 유리수의 정의로부터 정수 a,b 를 가지고

이 식이 잘 정리 되려면 당연히 b 는 0이 아닌 값을 가진다. 여기서 (a,b) 는 a,b 의 최대공약수를 말한다. (a,b)=1 이라는 것은 a와 b 가 서로소라는 것을 말한다.

한번 제곱해 보자

이는 a^2 이 짝수임을 말해준다. 더 나아가 어떤 수의 제곱이 짝수라는 것은 그 수 자신이 짝수라는 것을 말해 주니까 ( 어떤 두수의 곱이 짝수 이러면 두 수 중 하나는 무조건 짝수여야 한다. 그러니 같은 수의 제곱이 짝수라는 것은 그 수가 짝수라는 것을 말해준다. )

즉 a 가 짝수이니까 a^2 는 4의 배수가 되고 이는 b^2 이 짝수라는 것을 말해준다. 또 이것은 b 가 짝수라는 것을 말해준다. 이는 (a,b)=1 즉 a와 b가 서로소라는 가정에 위반되어 모순이다.

즉 root 2 가 유리수라는 가정이 잘못 되었음을 말하고 이는 root 2 가 무리수라는 것을 증명한다.

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여담이 길었군, 아무튼 이제 다시 본제로 돌아와서 Q[root 2] 가 Field 임을 보여보자. 0이 아닌 원소에 대해 곱셈에 대한 역수의 형태가 Q[root 2] 의 원소 형태임을 보이면 된다.

사실 이 과정은 무리수의 유리화 과정이었나? 중고교에 나오는 계산 테크닉인데, 여기서 중요한 것은 a+b root[2] 가 0이 아니기에 a-b root[2] 역시 0 이 아니라는 것이다.

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신기해 하는 이 친구에게

는 Field 일까? 를 물어보았다. [ㅋㅋㅋㅋ ]

포스팅에 한번 풀이를 해 보자면

위에서 했던 작업과 비슷하게

를 만족한다는 것을 알 수 있다. Basis 에 대한 idea 가 있다면,

가 서로 일차독립이라는 것으로부터 위의 사실을 받아들일 수 있다. 무슨 말이냐면 각각을 서로 다른 두 개의 일차결합의 합으로 표현할 수 없다는 것이다. 쉽게 말하면 root 2 를 무한히 더하고 빼고 상수배 한다고 해서 1을 만들 수 없다는 것을 말한다.

여하튼 이제 0이 아닌 원소의 곱셈에 대한 역수가 해당 원소가 되는지 확인을 하는 일만이 남았다.

사실 여기에는 또다른 중고교 인수분해 공식인

가 쓰였다.

a,b,c, 가 0이 아니니까 분모 분자에 같은 0이 안되는 값을 곱해준 뒤 통분해서 정리한 것이다.

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ㅋㅋㅋㅋㅋ
여담으로 중고등학생들이 인수분해 어디서 쓰여요? 하면 이런 문제에서 쓰인다고 답하면... ㅠㅠ