제타함수의 복소수화를 다루어 보려고 했는데 일단 복소수로 늘리기 전에, 디리클렛 에타함수를 이용한 정의에 대해서 살펴보고, 그것의 유도과정 중에 쓰이는 Binomial transformation 에 대해 다루어 보자.

Dirichlet eta 함수를 이용한 제타함수의 정의

저 디리클렛 에타 함수는 Re(s)>0 인 구간에서 수렴하기 때문에, 사실 이 함수는 복소수에서도 잘 정의가 된다.

이 에타함수를 이용하여 리만가설을 다음과 같이 번역할 수 있다.

이런 이유에서 제타 함수를 바로 다루기 어려웠던 수학자들은 이 디르클렛 에타 함수를 연구하기 시작했다.

이 디르클렛 에타 함수는 다음과 같이 정의된다.

저 alternating summation 이 제타함수와 연관된다는 것이 놀랍지 않은가!

제타 함수를 다양한 방식으로 표현 할 수 있기 때문에 [이 포스팅 시리즈의 목적이 이런 제타 함수의 다양한 표현방식을 알아보는 것에 있다. ] 에타 함수 역시 다양한 표현방식을 가진다.

제타 함수와 관련된 표현식 이전에 일단 이 디르클렛 에타함수와 제타 함수의 관계를 한번 증명해 보자. 생각보다 아주 간단하게 보일 수 있다.

첫번째 줄에서 한 것은 n 을 짝수와 홀수로 나눈 것에 불과하다. alternating sum 이라 홀수들은 상쇄되고 짝수들만 2배 되어 남는다. 저 두번쨰 줄의 우변과 좌변을 정리하면 처음 제타함수와 에타함수의 관계식을 얻는다.

디르클렛 에타함수의 표현식 하나를 살펴보자 .

[바로 밑에서 이 식을 증명할 것이다. Binomial transformation 이란 것을 이용하면 저 관계식을 보일 수 있다. ]

이 식 때문에 우리는 제타함수의 다른 표현식을 보너스로 얻는다.

Binomial transformation

Binomial transformation 이란 두 수열의 관계식을 표현한 것이다. [왜 Binomial transformation 이냐면, 이 변환의 적힌 꼴이 꼭 Binomial theorem, 이항정리의 식처럼 쓰였기 때문이다.]

두 수열 s_n 과 a_n 이 둘 중 한 관계식을 만족하면 다른 관계식은 자연스럽게 만족한다. 이 수열로 구성된 생성함수를 고려해 보면 이 두 수열의 관계식을 더 드러지게 볼 수 있다.

이런 Binomial transformation 을 연구한 사람으로는 Donald Knuth 가 있다. [ 관련 포스팅 [과학/공학?] 컴퓨터 프로그래밍의 예술 // Donald Knuth,
그의 컴퓨터 수학 교재를 소개한 [책]구체수학 글도 쓴 적이 있다.]

후에 다른 수학자들이 이를 더 일반화 했다. 일반화된 관계식을 적어보고 이를 한번 증명해 보자.

Binomial transformation 의 증명 -기초작업

이 증명과정은 고등학교 수학 내용을 조금 벗어난다. 일단 Multi-nomial theorem 이란 것과 Double summation 의 trick 그리고 음수 power의 이항전개에 대해서 알아야 한다. [사실 음수 power의 이항전개를 제외하고는 고등학교 수학 수준에서 위 두개를 가끔 다루기도 한다. (a+b+c)^n 에서 계수를 읽는 문제가 multinomial theorem 이다. ]

두번째 알아야 할 double sum trick 은

그려(?) 보면 이 관계식을 보일 수 있다.

세번째 음수 power에 대한 binomial theorem 이다. 사실 조합론 수업을 듣거나 따로 조합론을 공부하지 않은 이상 이 theorem 을 보지 않은 대학생들도 많을 것이다.

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실제로 필요한 식은 다음 두 식인데, 이 식들을 증명하려면 multi nomial theorem 과 음수 power 의 binomial theorem 이 필요하다.

첫번째 식은 multinomial theorem 을 이용하여 이렇게 증명할 수 있고 두번째 식은 음수 power 의 binomial theorem 에서 바로 나온다.

음수의 조합에 익숙하지 않은 사람들을 위해 음수의 counting 을 어떻게 정의하는지에 대해 적어보았다.

Binomial transformation 의 증명

기초작업으로 이제 증명은 그냥 straightforward 하다.

보이고 싶은것

자 내가 보이고 싶은 표현은 Dirichlet eta 함수의 서로 다른 두 표현식이 정말 같다는 것을 보이는
것이다.

즉 결론적으로

이는 Binomial transformation 의 generating function 의 관계식에서 바로 나온다.

이 식에 x=1/2 를 넣으면

끝!

다음 포스팅에는 analytic continuation 에 대해서 알아보려고 한다. 이와 관련되어서는 gamma 함수가 매우 유용하게 쓰인다.

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흠 ㅋㅋㅋ steemit 의 단점 중 하나가 지나간 포스팅을 찾고 분류하기가 어렵다는 것에 있다. 내가 쓴 글을 보기 위해 구글링을 해야 한다니 ㅋㅋㅋㅋ