Analytic continuation of zeta function

자 먼저 Re(s)> 0 인 경우의 analytic continuation 에 대해서 알아보자. 오늘 할 일은 일단 s=1 에서 zeta 함수가 simple pole 을 가진다는 것과 그리고 s=1 주위로 gamma 함수를 Laurent expansion (일반 실함수, 다변수 함수의 테일러 시리즈) 형태를 알아보려고 한다.

먼저 간단히 다음과 같이 summation 을 적분 형태로 바꿀 수 있다.

자 이제 x 를 정수 부분과 소수 부분으로 쪼개보자.

이러면 [x] 는 항상 정수일 것이고, 예를 들어 x 가 [n,n+1) 에 속한다면 [x]= n 이 된다. 이를 이용하면 제타함수를 다음과 같이 적절히 분해 할 수 있다.

이 표현식의 장점은 원래의 제타 함수는 Re(s)>1 에서 정의됬지만 여기서는 Re(s)>0 으로 영역이 확장되었다는 것이다. 여기서 s/s-1 항은 s=1 에서 simple pole 을 가진다는 것을 말해준다.

이를 통해 우리는 다음과 같은 로랑 전개를 할 수 있다.

Laurent expansion of zeta function

먼저 이번 항목에서 보이고 싶은 결론부터 써보자.

자 여기서 gamma 는 오일러 상수를 의미하고 gamma_n 은 Stieltjes 상수를 의미한다. 얘네들의 정의는 다음과 같다.

오일러 감마 상수는 이전의 감마함수 포스팅에서도 만나 본 상수이다. [감마함수의 곱의 정의, 혹은 감마함수를 전개할 때 이 상수가 등장한다. ]

자 일반적으로 실수 폐구간, [a,b] 에 정의된 함수 f(x) 를 합할 때 다음과 같은 식을 전개할 수 있다.

자 이제 제타함수를 분리해보자.

첫줄에서 한 짓은 원래 1부터 무한대의 합을 1 과 2부터 무한대의 구간으로 나눈 것이고, 두번째 줄에서는 2부터 무한대의 구간을 위에 식을 이용하여 전개한 것이다.

자 여기서도 s=1 에서 pole 을 갖는다는 것을 알 수 있긴 하다. [앞에서도 이를 확인했었다.] 자 Laurent series expansion 을 하면

이런 식으로 쓸 수 있다. 이 계수를 구해보자.

참고로 앞에서 구했던 식에선 s/s-1 이 있어 a_0 를 바로 읽어내기가 쉽지 않다. 그렇기에 번거롭지만 이 계산을 또 한 것이다. 하지만 a_n (n>0) 인 경우에는 앞의 식을 이용하면 더 쉽게 계수를 읽어낼 수 있다.

자 이제 고차 항들을 구해보자.

k 계수는 다음과 같은 k 번 미분에서 구할 수 있다.

저 중간과정에 사용한 계산은 사실 고등학교 때의 지수함수 미분에 불과하다.

좀 더 쉬운 방법

좀 더 쉬운 방법이 있다. [ 이 방법은 Re(s)>1 인 경우에 성립한다.]

마지막에 m 을 무한대로 보내면 정확히 제타함수의 Laruent series expansion 과 같은 형태가 된다.

다음번 포스팅에는 가장 잘 알려진 제타 함수의 해석적 확장에 대해 알아보고, (Jacobi theta 함수를 이용한) 이를 이용해 zeta 함수의 functional equation 과 Reflection functional equation 을 유도해보자. 이 계산들에서 이전의 감마함수 계산들이 사용된다.

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