Yau 가 한국에 방문한 기념으로 Yau 에 관련된 포스팅을 준비한다고 한지가 거의 3주가 다 되어 가는 듯하다. [관련 글 [수학] Yau 의 한국 방문 ]

세 강연 모두 꽉 찼다고 한다. [역시...] 야우는 주로 역사적인 이야기를 .. 거의 리만 칭송으로 시작해서 칭송으로 끝났다고..

뭐 물론 그가 리만기하와 관련된 해석학을 주로 연구했으니 [칼라비 야우도 어떻게 보면 리만기하의 복소화 과정에서 등장하게 된 것이니, kahler! ] 반면 그의 책 휜, 비틀린, 꼬인 공간의 신비는 거의 자기 업적 중심이었는던 걸로 기억나는데... ㅋㅋㅋㅋ

예전에 리만기하 수업을 들었을 때 담당 선생님이 거의 가우스와 리만 이야기를 엄청 해주어서 나름 잘 안다고 생각했는데 ㅋㅋ 한번 예전 노트들을 찾아봐야겠다. 리만기하와 복소기하 노트들을 보면 지금 얼마나 이해할 수 있으려나 [스팀잇 포스팅 거리를 찾을 수 있으려나? ㅋㅋㅋ]

서론이 길었다.

Yau 선생님은 1982 년 필즈상을 받았는데, 이때 그가 필즈상을 받게 된 가장 큰 업적은 Calabi-conjecture 를 해결한 것이 있고, 그 다음으로 positive mass theorem[혹은 positive energy theorem 으로 불리는 정리를 증명한 것에 있다.

오늘은 이 두번째 업적인, positive mass theroem 에 대해서 간략한 역사와 최근 사항에 대해서 소개해 볼까 한다.

Positive mass theorem 은 다음과 같이 기술된다.

If (M,g) is an asympotitically flat manifold with R_g greater then equal zero, then ADM mass is always non-negative.

이 용어를 이해하기 위해서는 일단 Asympotitically flat 이라는 말과, ADM mass 라는 두 용어를 알아야 한다. (R_g 는 스칼라 곡률을 의미한다)

여기서 non-negative 라는 말은 0보다 크거나 같다는 말을 의미한다. 스칼라 곡률이 0보다 크거나 같은 Asympotitically flat 공간에서 ADM mass 가 항상 0보다 크거나 같다는 것이 이 theorem 의 의미이다. 물리학자들은 특정 시공간에 대해 질량은 항상 영보다 크거나 같다, 즉 양수값을 가진다고 하여 positive mass conjecture 로 불리다가 여러 방법으로 물리학적, 혹은 수학적으로 증명이 되었다. 이 positive mass theorem 은 수학적으로 매우 풍부하고 연구가 많이 된 주제이다.

용어에 대한 설명과 과거와 현재 상황에 대한 이야기를 한번 해보자

1. Asympotitically flat

[Asympotitically flat Manifold 의 가장 대표적인 예로는 Schwarzschild 공간이 있다. 물론 Flat 공간도 Asympotitically flat 공간이다. ]

Asympotitically flat 이라는 말은 문맥상으로 말한다면, 아주 먼 거리에서 flat 과 같다는 말을 의미한다. 수학적으로 여러 용어를 써서 이 말을 정의할 수 있는데 가장 역사적으로 먼저 쓰인 표현은 metric perturbation 에 의한 표현이다.

리만기하에서 metric 을

처럼 전개하고 여기서

사실 이는 3차원에서만 성립하는 것이고 좀 더 일반화된 차원에서 이 조건 역시 정의할 수 있다. [좀 더 엄밀히 하기 위해서 이 때에는 R_g 의 O(r^{x}) 오더도 고려해야 한다]

2 . ADM Mass

물리학, 특히 중력 분야에서는 정말 다양한 이름의 mass 들이 있다. [더 자세히 알고 싶다면 Mass in general relativity 참조 ]이 많은 mass 들 중에서 무엇이 정말 physical mass 인 것이냐에 대해 많은 논쟁이 있어왔다.

[Richard Arnowitt, Stanley Deser and Charles Misner ]

ADM Mass 는 세 물리학자의 성 앞글자를 따 온 것인데, 이 세 사람은 중력이론에서 해밀토니안을 정의하는 ADM formulation 혹은 3+1 formulation 이란 것을 만든 사람이다.

[이 3+1 method 는 수치 중력 분야에 또 엄청나게 적용된다]

ADM 에 대해서 제대로 설명하려면 여러가지 수학적, 물리적 배경지식이 필요하다.

그래서 일단 지금은 생략...

3차원에서 ADM mass 는 다음과 같은 공식으로 주어진다.

이것이 진짜 질량인지는, Asympotitically flat 의 예 중 하나인 Schwarzschild metric 을 넣어 계산하면 된다. 조금 계산을 하고 나면 schwarzschild metric 의 질량 m 이 튀어나온다.

3 . 과거와 현재?

역사적으로 1979년 Yau 와 그의 제자 Richard Schoen 에 의해 변분 정리를 이용하여 ADM mass 에 관한 positive mass theorem 이 처음 증명되었다. 하지만 이는 해당 Asympotitically flat manifold M 의 차원이 3이상 7 이하인 경우에만 해당하는 것이었다. [ 이 증명을 이용하여 3 이상 7 이하의 차원에 대한 Yamabe problem 를 해결 할 수 있다. [Schoen 이 증명하였다. - Yamabe problem 에 관한 좋은 리뷰 논문으로 J.M.Lee 와 T.H.Parker 의 The Yamabe problem 이 있다. ] 신기하게 다른 나머지 차원과 3이상 7 차원의 Yamabe 문제는 일종의 duality 관계를 보인다. 증명 방법이 완전히 반대다. [이 반대 증명은 Neil Trudinger, Thierry Aubin 이 증명하였다. ] 물론 후에 Ricci flow 를 이용한 증명이 나왔다. ]

이 논문의 증명은 정말 elegant 하여 많은 교과서에 실려있다. geometric analysis 의 핵심 분야 답게... 그 넘의 Soblev embedding theorem 등등... 이 등장한다.. 머리아프니 일단 이번 포스팅에서 따로 다루지 않도록 하자.

1981년 위튼은 spinor 를 이용하여, 3보다 큰 차원의 Spin manifold 위에서 positive mass theorem 이 성립한다는 것을 보였고, 후에 Gary Gibbons, Stephen Hawking, Horowitz 그리고 Malcom Perry는 이 이론을 Asympotically Ads 까지 확장하였다.

그리고 그 이후로 물리학자는 물리학자 나름대로 수학자는 수학자 나름대로 증명과 응용을 해 왔다. 사실 이 positive mass theorem 은 물리학 보다는 수학, 기하학적 해석학에서의 응용이 더 많이 되고 있다. Ricci flow 와 관련되서도 응용할 수 있고 ㅎㅎ;

여러가지 증명들, 도구들, 그리고 반박들이 있어왔는데, 작년에 Schoen 과 Yau 는 Minimal Hypersurface 를 이용하여, 기존의 3에서 7차원에 수학적으로 증명한 positive energy theorem 를 일반화된 모든 차원으로 증명하는데 성공하였다. [아직 다른 수학자들의 검증과정이 끝난 것은 아니다. ]

https://arxiv.org/abs/1704.05490

이전의 물리학자들의 증명은 초중력 이론에서의 spinor 를 이용한 것이었고, Schoen 과 Yau 의 이번 증명은 기하학적 해석학의 기법을 이용하여 모든 차원에 대해 증명한 것이다.

수학 논문들은 검토하는 과정도 상당히 걸리는데, 이 논문이 참으로 밝혀지는데 꽤 시간이 걸릴 것으로 보인다. 일단 오류를 밝혀내기 위해서는 이 논문을 완전히 이해해야 할테고 관련 레퍼런스들과 지금까지 연구들에 대해서도 상당히 빠삭해야 할테니..

과연 이번 이 논문이 참인 논문으로 판별될지 궁금하다. 또 이 이론을 증명하기 위해 개발된 툴들이 앞으로 어떻게 쓰일까도 기대가 된다.